1、第一章DIYIZHANG推理与证明1归纳与类比课后篇巩固提升A组1.下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中第1个图形由1个小正方形组成,第2个图形由3个小正方形组成,第3个图形由7个小正方形组成,第4个图形由13个小正方形组成,那么第8个图形中小正方形的个数是()A.72B.73C.57D.58解析因为第1个图形中的小正方形个数为1;第2个图形中的小正方形个数为1+2=3;第3个图形中的小正方形个数为1+2+4=7;第4个图形中的小正方形个数为1+2+4+6=13;所以第8个图形中的小正方形个数为1+2+4+6+8+10+12+14=57.故选C.答案C2.下列几种推理中是合情推
2、理的是()由圆的性质类比出球的有关性质.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均为180,归纳出所有三角形的内角和均为180.教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了.由a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,归纳出数列an的通项公式为an=2n-1.A.B.C.D.解析是类比推理,是归纳推理,故都是合情推理.答案C3.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a3=b3,则a=b”类比推出“若a0=b0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(ab)c=acbc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“a+bc=ac+bc(c0)”D.“(ab)n=anbn”类比推
3、出“(a+b)n=an+bn”答案C4.已知数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第60个数对是()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)解析由前面的几个数对不难发现,数对中两数之和为2的有1个,为3的有2个,为4的有3个,为11的有10个,则根据数对规律可推出第56个数对为(1,11),往下的数对依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),.故选D.答案D5.在平面直角坐标系中,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax
4、0+By0+C|A2+B2,类比可得在空间直角坐标系中,点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离为()A.4B.5C.163D.203解析类比可得,点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,故点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离d=|2+23+24-4|12+22+22=4.故选A.答案A6.若数列an是等差数列,则数列bn=an+1+an+2+an+mm(mN*)也为等差数列,类比上述性质,相应地,若正项数列cn是等比数列,则数列dn=也是等比数列.答案mcn+1cn+2cn+m7.观察下列等式:s
5、in30+sin90cos30+cos90=3,sin15+sin75cos15+cos75=1,sin20+sin40cos20+cos40=33.照此规律,对于一般的角,有等式.解析根据等式的特点,发现tan30+902=3,tan15+752=1,tan20+402=33,故对于一般的角,的等式为sin+sincos+cos=tan+2.答案sin+sincos+cos=tan+28.阅读以下求1+2+3+n(nN+)的过程:因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1,以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+n)+n,所以1+2+3
6、+n=n2+2n-n2=n(n+1)2.类比上述过程,可得12+22+32+n2=(nN+).解析因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,以上各式相加得(n+1)3-13=3(12+22+n2)+3(1+2+n)+n,所以12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)6.答案n(n+1)(2n+1)69.已知数列an满足a1=1,anan+1=nn+1(nN+).(1)求a2,a3,a4,a5,并猜想通项公式an;(2)根据(1)中的猜想,有下面的数阵:S1=a1S2=a2+a3S3=a4+a5+a6S4=
7、a7+a8+a9+a10S5=a11+a12+a13+a14+a15试求S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想S1+S3+S5+S2n-1的值.解(1)因为a1=1,由anan+1=nn+1,知an+1=n+1nan,故a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可归纳猜想出an=n(nN+).(2)根据(1)中的猜想,数阵为:S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65故S1=1=14S1+S3=1+15=16=24S1+S3+S5=1+15+65=81=34可猜想S1+S3+S5+S2n-1=n4.10.在RtABC中,
8、C=90,当n2时,有cnan+bn成立,请你类比直角三角形的这个性质,猜想一下空间四面体的性质.解如图,与RtABC对应的是四面体P-DEF;与RtABC的两条边交成一个直角相对应的是四面体P-DEF的三个面在一个顶点D处构成3个直二面角;与RtABC直角边a,b相对应的是四面体P-DEF的平面DEF,FPD,DPE的面积S1,S2,S3;与RtABC的斜边c相对应的是四面体P-DEF的平面PEF的面积S.由此猜想:当n2时,SnS1n+S2n+S3n.B组1.已知点P(10,3)在椭圆C:x2a2+y299=1上.若点N(x0,y0)在圆M:x2+y2=r2上,则圆M过点N的切线方程为x0
9、x+y0y=r2.由此类比得椭圆C在点P处的切线方程为()A.x33+y11=1B.x110+y99=1C.x11+y33=1D.x99+y110=1解析因为点P(10,3)在椭圆C:x2a2+y299=1上,故可得100a2+999=1,解得a2=110.由类比可得椭圆C在点P处的切线方程为10x110+3y99=1,整理可得x11+y33=1.故选C.答案C2.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列annN+的前12项(即横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则a2 013+a2 014+a2 015=()A.1 0
10、06B.1 007C.1 008D.2 015解析观察点的坐标可知,偶数项的值等于其项数的一半,则a4n-3=n,a4n-1=-n,a2n=n,2013=4504-3,2015=4504-1,a2013=504,a2015=-504,a2014=1007.a2013+a2014+a2015=1007.答案B3.记等差数列an的前n项和为Sn,利用倒序求和法,可将Sn表示成首项a1,末项an与项数n的一个关系式,即Sn=n(a1+an)2;类似地,记等比数列bn的前n项积为Tn,且bn0(nN+),试类比等差数列求和的方法,可将Tn表示成首项b,末项bn与项数n的一个关系式,即Tn=()A.n(
11、b1+bn)2B.(b1+bn)n2C.nb1bnD.(b1bn)n2解析利用等比数列的性质,若m+n=p+q,则bmbn=bpbq,利用倒序求积法可得Tn=b1b2bn,Tn=bnbn-1b1,两式相乘得Tn2=(b1bn)n,故Tn=(b1bn)n2.答案D4.观察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,根据以上式子可以猜想:1+122+132+120212.解析由已知的式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,1+122+132+1n22n-1n,故可得1+122+132+12021240412021.答案40
12、4120215.在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为,则cos2+cos2=1,请在立体几何中,给出类比猜想.分析由平面几何中的长方形可联想到立体几何中的长方体,如图.解在长方形ABCD中,cos2+cos2=ac2+bc2=a2+b2c2=c2c2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为,则cos2+cos2+cos2=1.证明如下:cos2+cos2+cos2=ml2+nl2+gl2=m2+n2+g2l2=l2l2=1.6.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图分别是制作该作品前四步所对应的图案,按照如此规律,第n步完成时对应图案中所包含小正方
13、形的个数记为f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5)的值;(2)利用归纳推理,归纳出f(n+1)与f(n)的关系式;(3)猜想f(n)的表达式,并写出推导过程.解(1)图中只有一个小正方形,得f(1)=1;图中有3层,以第2层为对称轴,有1+3+1=5(个)小正方形,得f(2)=5;图中有5层,以第3层为对称轴,有1+3+5+3+1=13(个)小正方形,得f(3)=13;图中有7层,以第4层为对称轴,有1+3+5+7+5+3+1=25(个)小正方形,得f(4)=25;第五步所对应的图案中有9层,以第5层为对称轴,有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(个)小正方形,得f(
14、5)=41.(2)f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,f(n+1)-f(n)=4n.f(n+1)与f(n)的关系式为f(n+1)-f(n)=4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)=2n2-2n+1.由(2)可知f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,f(n)-f(n-1)=4(n-1)=4n-4,将上述n-1个式子相加,得f(n)-f(1)=41+2+3+4+(n-1),则f(n)=2n2-2n+1.
