1、3.4生活中的优化问题举例课后篇巩固提升1.表面积为16的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为()A.4B.6C.8D.解析根据球的表面积公式得4R2=16,R=2.设三棱柱底边长为x,则底面等边三角形外接圆的半径为x,故三棱柱的高为2=2,所以三棱柱的体积为V(x)=x22,令f(x)=-x6+12x4,由f(x)=-6x3(x-2)(x+2)=0,解得x=2,即函数在x=2时取得极大值也是最大值,此时V(2)=82=8.答案C2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为
2、x(x(0,0.048),要使银行获得最大收益,则存款利率为()A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036解析由题意,存款量g(x)=kx(k0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y=0.048k-2kx,令y=0,解得x=0.024,依题意知y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.答案B3.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形,做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2,则a的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析设截去的小正方
3、形边长为x,则无盖方盒底边是边长为a-2x的正方形,高为x,所以其体积为V(x)=(a-2x)2x=4x3-4ax2+a2x,x0,则V(x)=12x2-8ax+a2=(2x-a)(6x-a),x0,当0x0,V(x)单调递增,当x时,V(x)0,V(x)单调递减,所以V(x)max=V=.若该方盒的体积为2,则V(x)max=V=2,解得a3.所以a的最小值为3.故选C.答案C4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润P最大时,每年生产的产品是()A.100单位B.150单位C.200单位D.30
4、0单位解析由题意知,总成本为C=20 000+100x.而总利润为P=P(x)=R-C=P(x)=令P(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.答案D5.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对解析设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0x4时,y0;当40,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.答案B6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x0),为使耗电量最
5、小,则其速度应定为.解析y=x2-39x-40=(x-40)(x+1),令y=0得x=40,且当0x40时,y40时,y0,所以当x=40时,y取最小值,即速度为40时,耗电量最小.答案407.已知一个母线长3米的圆锥形容器,则当该容器的容积最大时,其高为米.解析设圆锥形容器的高为h米,半径为r米,由勾股定理可得h2+r2=27,所以r2=27-h2,其中0h3,圆锥形容器的体积为V=r2h=(27-h2)h=(27h-h3),则V=(9-h2),令V=0,可得h=3(负值舍去).当0h0;当3h3时,V0,所以,当h=3时,圆锥形容器的体积V取得最大值.答案38.某公司租地建仓库,每月土地占
6、用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.解析依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离.于是有2=,得k1=20;8=10k2,得k2=.因此两项费用之和为y=,y=-.令y=-=0,得x=5,故当仓库建在离车站5千米时,两项费用之和最小.答案59.近年来,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(
7、单位:元/套)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2x6,m为常数.已知当销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数).解(1)因为当x=4时,y=21,代入关系式y=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知套题每日的销售量y=+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),从而f(x)=12x2-112
8、x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;在内,f(x)0,函数f(x)单调递减,所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.10.如图,有一块半圆形的空地,政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH,剩余的地方进行绿化,其中半圆的圆心为O,半径为r,矩形的一边AB在直径上,点C,D,G,H在圆周上,E,F在边CD上,且BOG=60,设BOC=.(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为f(),求f()的表达式;(
9、2)当cos 为何值时,可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大.解(1)如图,过点G作GMAB于点M,连接OH.BOG=60,GM=OGsin 60=r.又BOC=,BC=rsin ,OB=rcos ,GF=GM-BC=r-rsin ,由对称性知AB=2OB=2rcos ,HOA=GOB=60.HOG=60,则OHG为等边三角形,GH=OG=r.S矩形ABCD=ABBC=(2rcos )rsin =2r2sin cos .S矩形EFGH=GHGF=rr-rsin =r2-r2sin .f()=S矩形ABCD+S矩形EFGH=2r2sin cos +r2-r2sin 0.(2)由(1)得f()=r22sin cos -sin +,f()=r2(2cos2-2sin2-cos )=r2(4cos2-cos -2).令f()=0,则4cos2-cos -2=0,cos =,即cos ,cos =.令0,cos 0=.当角变化时,f(),f()的变化情况如下表:(0,0)0f()+0-f()单调递增极大值单调递减f()max=f(0).当cos =时,可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大.
