1、黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三数学12月月考试题 理一、单选题（每题5分，共60分）1已知集合，则的子集共有（ ）A2个B4个C6个D8个2“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知等差数列中，则公差（ ）A-2BCD24双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD5“堑堵”是中国古代数学名著九章算术中记载着的一种多面体如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（ ）A BC D6已知实数满足，则的最小值是（ ）A4B5C6D77已知直线l过抛物线的焦点
2、，并交抛物线C于A、B两点，则弦AB中点M的横坐标是（ ）A3B4C6D88已知圆心在直线上的圆，其圆心到轴的距离恰好等于圆的半径，在轴上截得弦长为，则圆的方程为（ ）ABCD9若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（ ）ABCD10已知函数为奇函数，当取最小值时，的一个单调递减区间是（ ）ABCD11在中，是线段上的点，若的面积为，则的最大值是（ ）ABCD12函数，若，其中，则的最大值为（ ）AB CD二、填空题（每题5分，共20分）13设复数满足，则 14已知函数，若，则_15如图，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为线段的
3、中点，为在上的射影，若平分，则该椭圆的离心率为_16. 已知直线、，平面、，给出下列命题： 若，且，则；若，且，则；若，则；若则；其中正确的命题序号是_三、解答题（共70分）17（共12分）已知数列满足为等比数列，且，.（1）求；（2）求18（共12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值19.（共10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值20.（共12分）如图，三棱柱中，侧
4、面，已知，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21（共12分）如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过点F作一条直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C（1）求椭圆E的方程；（2）已知平面内一定点T，证明：B，T，C三点共线22（共12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，证明，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围1-12:BACAC CCDBA BA13-16:17.解：（1）由且得：，所以，又因为数列为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2. 故
5、，所以.（2）由，. ，则，累加得， .又满足上式18解：（1）已知抛物线过点，且则，故抛物线的方程为；（2）设，联立，得，得，又，则，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-819.（1）由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为，即.（2）不妨设，则当时，取得最大值，最大值为.20.（1）由题意，因为，又，侧面，.又，平面直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量为，令，则，假设存在点，设，设平面的一个法向量为，得.即，或，或.21解：（1）由题意可知，解得，所以，所以椭圆E的方程为.（2） .证明B，T，C三点共线.证明：设，则，将：与，得，从而要证B，T，C三点共线，即证.，得证.22.(1)证明：当时,则,当时,则,又因为,所以当时,仅时,所以在上是单调递减,所以,即.(2),因为,所以,当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.当时,在区间上单调递增,因为.当时,所以在上单调递减,没有极值点.当时,所以存在,使当时,时,所以在处取得极小值,为极小值点.综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.
