1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.在ABC中,已知A,a,b,给出下列说法:若A90,则此三角形最多有一解;若A90,且a=bsin A,则此三角形为直角三角形,且B=90;当A90,且bsin Aab时,此三角形有两解.其中正确的说法的个数为()A.0B.1C.2D.3解析由A90,知B为锐角,则此三角形最多有一解,故说法正确;若A90,且a=bsinA,则sinB=1,即B=90,此三角形为直角三角形,故说法正确;当A0的解集是()A.B.(1,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,+)解析3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)0,
2、解得x1或x0),cosB=-,故B=120.答案C4.已知变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为()A.-3B.0C.1D.-1解析依题意画出可行域为ABC及其内部,由图可知当直线y=x-z经过点A时,z取得最大值,而点A的坐标为(1,0),所以z的最大值为1-20=1,故选C.答案C5.在ABC中,B=,c=4,cos C=,则b=()A.3B.3C.D.解析B=,c=4,cosC=,sinC=,由正弦定理,可得:,解得:b=3.故选B.答案B6.在等差数列an中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列an的前13项的和为()A.104B.52C.39D.24解
3、析由已知可得6a4+2(3a10)=48,即6(a4+a10)=48,因此a7=4.于是S13=13a7=134=52.答案B7.已知ab1,c0,给出下列三个结论:;acloga(b-c).其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.解析由ab1知.因为cb1,cb-c1-c1,由对数函数的图象与性质知正确.答案D8.在ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析因为asinA+bsinB-csinC=0,所以a2+b2-c2=0.又因为圆心O(0,0)到直线l:ax+by+
4、c=0的距离d=1,所以圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切,故选A.答案A9.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+b2=2c2.如果c=2,那么ABC的面积等于()A.tan AB.tan BC.tan CD.1解析由已知得a2+b2=8,由余弦定理得cosC=,所以ABC的面积S=absinC=sinC=tanC.答案C10.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是()A.B.C.D.解析由x2+3xy-1=0,得y=,所以x+y=2,当且仅当x=时等号成立.故选C.答案C11.已知ABC的三边长成公差为2的等差数列,且最大角的正弦
5、值为,则这个三角形的周长是()A.18B.21C.24D.15解析不妨设三角形的三边长分别为a,b,c,对应的三个角分别为A,B,C,且abc0.由题意知公差d=2,则a-b=b-c=2,b=c+2,a=c+4.因为sinA=,所以A=60或A=120.若A=60,因为三条边不相等,则必有角大于A,矛盾,故A=120.cosA=-,解得c=3,所以b=c+2=5,a=c+4=7.所以这个三角形的周长为3+5+7=15.故选D.答案D12.若数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为()A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830解析当n=2k时,a2k+1
6、+a2k=4k-1;当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3.a2k+1+a2k-1=2,a2k+3+a2k+1=2,a2k-1=a2k+3,即a1=a5=a61.a1+a2+a3+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+(a60+a61)=3+7+11+(260-1)=3061=1830.答案D二、填空题(每小题5分,共20分)13.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=6,B=,sin A=,则a=.解析在ABC中,b=6,B=,sinA=,由正弦定理可得a=4.答案414.若x,y满足则(x-1)2+(y-1)2的取值范围是.解析 画出可行域(如图阴影部分所示),(
7、x-1)2+(y-1)2表示可行域内的点(x,y)与定点P(1,1)的距离的平方,显然其最小值为点P到边界直线x-y-1=0的距离的平方,即为,其最大值为点P到点(2,0)的距离的平方,即为(2-1)2+(0-1)2=2.因此(x-1)2+(y-1)2的取值范围是.答案15.已知数列an满足:+(52n-1),nN*,则数列an的通项公式为.解析当n=1时,a1=;当n2时,+(52n-1),+(52n-2-1),-,得=52n-1,所以an=,经验证当n=1时也符合,所以an=.答案an=16.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)
8、=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.解析因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论,得cosA=,又因为0A,所以A=.因为cosA=,所以bc4,当且仅当b=c=2时,取等号.由三角形面积公式知SABC=bcsinA=bcbc,故ABC面积的最大值为.答案三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2020全国高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.
9、(1)求A;(2)若b-c=a,证明:ABC是直角三角形.(1)解由已知得sin2A+cosA=,即cos2A-cosA+=0.所以=0,cosA=.由于0A,故A=.(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=sinA.由(1)知B+C=,所以sinB-sinsin.即sinB-cosB=,sin.由于0B1,a1=1,且2a2,a4,3a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.解(1)由2a2,a4,3a3成等差数列可得2a4=2a2+3a3,即2a1q3=2a1q+3a1q2.因为q1,a1=1,所以2q2=2+3q,即2q2
10、-3q-2=0,解得q=2.因此数列an的通项公式为an=2n-1.(2)bn=2n2n-1=n2n,Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+n2n+1,-,得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1,-Tn=-n2n+1,Tn=(n-1)2n+1+2.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-(c+1)x+c(cR).(1)解关于x的不等式f(x)ax-5在(0,2)上恒成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)0,x2-(c+1)x+c=(x-1)(x-c)0.当c1时,可得cx1;当c=1时,可得(x-1)21时,可得1xc.综上,当c1时,原不等式的
11、解集为x|cx1时,原不等式的解集为x|1xax-5可化为x2+x-2ax-5.axx2+x+3在(0,2)上恒成立,a.设g(x)=,则g(x)=x+11+2,当且仅当x=,即x=时,等号成立.g(x)min=1+2,即a0,得-2n2+40n-720,解得2n18.由于nN*,故该厂从第三年开始赢利.(2)由题意知第n年的年平均纯利润为=40-2.n+12,40-216,即16,当且仅当n=6时等号成立,此时年平均纯利润最大值为16万元.故该厂第6年年平均纯利润达到最大,年平均纯利润最大值为16万元.21.(本小题满分12分)在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(1+
12、cos C)+c(1+cos A)=3b.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若B=60,b=4,求ABC的面积.(1)证明a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b,由正弦定理得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=3sinB,即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,sinA+sinC=2sinB,由正弦定理得a+c=2b.故a,b,c成等差数列.(2)解B=60,b=4,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得42=a2+c2-2accos60,即(a+c)2-3ac=16.又a+c=2b=8,解得ac=16(或者解得a=c=4),SABC=acsin
13、B=4.22.(本小题满分12分)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q,由已知得,解得q=2或q=-1.由S6=a1=63,知q-1,所以a1=63,解得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则T2n=(-)+(-)+(-)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.
