1、阶段性测试题五(平面向量、数系的扩充与复数的引入)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2010福建卷)i是虚数单位，()4等于()AiBiC1 D1答案C解析本题主要考查复数422(1)21.2(2010重庆卷)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0 B2C4 D8答案B解析|2ab|24a24abb28，|2ab|2.3(文)(2011江西南昌一模)已知a、b均为非零向量，命题p：ab0，命题q
2、：a与b的夹角为锐角，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当a与b夹角为0时，ab0；p/ q，当a与b夹角为锐角时，ab|a|b|cos0，qp.(理)(2011江西南昌一模)已知a(1,3)，b(1,1)，cab，若a和c的夹角是锐角，则的取值范围是()A. B.C0 D.(0，)答案D解析由条件得，c(1，3)，从而(0，)4(2011温州二模)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为邻边的平行四边形
3、的面积C以a，b为两边的三角形的面积D以b，c为两边的三角形的面积答案A解析|bc|b|c|cos|，如图ac，|b|cos|就是以a、b为邻边的平行四形的高h，而|a|c|，|bc|a|(|b|cos)，|bc|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积5(文)(2011.4烟台调研二模)已知向量m(1,1)，n(1，t)，若mn3，则向量m与向量n夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析mn3，1t3，t2，n(1,2)，|m|，|n|，cos，故选D.(理)(2011.4烟台二模)已知向量a与b的夹角为，|a|，则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.答案C解析a在b方向上的投影
4、为|a|coscos.故应选C.6(2010湖北卷)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BFCG DH答案D解析由图可知z3i，2i，对应复平面内的点H，故选D.7(2011陕西模拟)设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且4i2j，3i4j，则OAB的面积等于()A15 B10C7.5 D5答案D解析由已知A(4,2)，B(3,4)则12820，|2，|5.cosAOB，sinAOB，SOAB|sinAOB255.8(文)(2011.4九江二模)已知向量a(2,2)，b(5，k)若|ab|不超过5，则k的取值范围
5、是()A4,6 B6,4C6,2 D2,6答案C解析|ab|(3，k2)|5，(k2)242，6k2.选C.(理)(2011.4九江二模)已知a(m，n)，b(p，q)，且mn5，pq3，则|ab|的最小值为()A4 B4C6 D8答案B解析由基本不等式知，x2y2(xy)2，|ab|(mpnq)84，当mpnq4时等号成立9(2011惠州调研)已知方程x2(4i)x4ai0(aR)有实根b，且zabi，则复数z等于()A22i B22iC22i D22i答案A解析将实根b代入方程得b2(4i)b4ai0，即b24b4(ba)i0(b2)20且ba0，b2，a2z22i.故选A.10(2010
6、山东卷)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2答案B解析本题考查向量共线、数量积的坐标运算及向量模的运算，考查考生对“新概念”的理解以及创新意识，应用意识推理论证能力和利用所学知识分析、解决问题的能力若a(m，n)与b(p，q)共线，则mqnp0，依运算“”知ab0，故A正确由于abmqnp，又banpmq，因此abba，故B不正确对于C，由于a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)，故C正确对于D，(a
7、b)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2)(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正确. 第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11(2010北京卷)在复平面内，复数对应的点的坐标为_答案(1,1)解析i(1i)1i.12(2011聊城模拟)设a(，sin)，b(cos，)，且ab，则锐角为_答案解析ab，sin21，.13(2011皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120，若向量cab，且ca，则_.答案解析由题意知ab|a|b|cos120|a|b|.又ca，(ab)a0
8、，a2ab0，即|a|2ab|a|b|，.14(2011南京模拟)如图，AB是半圆O的直径，C、D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点若OA6，则的值是_答案26解析()()66cos6062cos12062cos12022cos18026.15(2011陕西铜川)设向量 a，b的夹角为，a(2,1)，a3b(5,4)，则sin_.答案解析设b(x，y)，a(2,1)，a3b(5,4)，即b(1,1)，cos.又0，sin.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)设复数zlg(m22m2)(m23m2)i，当实数m取何值
9、时(1)z是纯虚数(2)z是实数(3)z对应的点位于复平面的第二象限解析(1)由题意知解得m3.所以当m3时，z是纯虚数(2)由m23m20，得m1或m2，又m1或m2时，m22m20，所以当m1或m2时，z是实数(3)由即解得：1m1或1m3.所以当1m1或1m3时，z对应的点位于复平面的第二象限17(本小题满分12分)(2011丰城模拟)设a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解析(1)a(1,1)，b(4,3)，1314，a与b不共线，cos.(2)cos，c在a方向上的投影为|
10、c|cos.(3)c1a2b，解得1，2.18(本小题满分12分)(2011上饶模拟)已知平面内A、B、C三点在一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值解析由于C、A、B三点在一条直线上，则，则(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0.整理得mnn5m90，又，2nm0.联立方程组解得或.19(本小题满分12分)(2011黄山模拟)已知向量a(cosx，sinx)，|b|1，且a与b满足|kab|akb|(k0)(1)试用k表示ab，并求ab的最小值；(2)若0x，b，求ab的最大值及相应的x值解析(1)|a|1，|b|1，由|kab|akb|，得
11、(kab)23(akb)2，整理得ab，当且仅当k1时，ab取最小值.(2)由abcosxsinxsin.0x，x，sin1.当x时，ab取最大值为1.20(本小题满分13分)(2011广东湛江师院附中联考)已知向量，定义函数f(x).(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)1，bc8，求ABC的面积S.解析(1)f(x)(2sinx，1)(cosx，cos2x)sin2xcos2xsin，f(x)的最大值和最小值分别是和.(2)f(A)1，sin.2A或2A.A或A.又ABC为锐角三角形，A，bc8，ABC的面积SbcsinA82.21(本小题满分14分)(2011.3景德镇一模)已知向量a(2cos，2sin)，b(sin，cos)，xa(t23)b，ykatb，且xy0.(1)求函数kf(t)的表达式；(2)若t1,3，求f(t)的最大值与最小值解析(1)a24，b21，ab0xyka2t(t23)b2tk(t23)ab4kt(t23)0，kt3t，即f(t)t3t.(2)由(1)可得f (t)t2，由f (t)0得t1.列表t1(1,1)1(1,3)3f (t)0f(t)递减递增而f(1)，f(1)，f(3)，f(t)max，f(t)min.
