1、考点突破练12圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a0,b0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x3.(2022广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.4.(2022河北保定高三期
2、末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022全国甲文11)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F
3、1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足POF2=2PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(202
4、2湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为xy=010.(2022新高考10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|4|OF|D.OAM+OBMn0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=xD.AF1
5、F3为等边三角形三、填空题13.(2021全国乙理13)已知双曲线C:-y2=1(m0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象
6、限内相交于点P,且F1PF2=60.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.考点突破练12圆锥曲线的方程与性质1.D解析 抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,+2=4,解得p=4,抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析 由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=4,故双曲线C的渐近线方程为y=x=x.3. D解析 如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故F1AF2=90.因为直线F2A的斜率为-3,所以tanF1F2A=3,所以|A
7、F1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析 以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36 cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6 cm.5.B解析 由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)(a,-b)=-a2+b2=-1,由e=,得e2=1-,即b
8、2=a2.联立,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析 根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c=a.在PF1F2中,由余弦定理,可得cosF1PF2=-,则sinF1PF2=.由PF1F2的面积为,可得|PF1|PF2|sinF1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析 过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cosQPM=cosPQF,要使取得最小值,则cosPQF取得最小值,即tanPQF取得最大值0PQF0).所以yA=
9、p,故kAB=2,故选项A正确;选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(xB,yB),则p+yB=p,则yB=-,代入抛物线方程得=2pxB,解得xB=.|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p+p=p2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,Ap,p,B,-p,所以=p,p,-p=-p2=-p20,所以AOB为钝角.又=-p-,-p=-p2=-p20,所以AMB为钝角.所以OAM+OBM180.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析 由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|O
10、A|=2+|OA|,由椭圆性质可知2|OA|2,所以4|AB|2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2|OA|2,记AOF=,则SABF=SAOF+SOBF=|OA|OF|sin +OBOFsin(-)=|OA|sin +2sin =(|OA|+2)sin ,取=,则SABF=1+|OA|1+2b0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得,解得a2,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析 由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0
11、)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|AM|+|AF|-13-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16. 解析 设椭圆C1:=1(ab0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2stcosF1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos 60=a2+3,即4=,解得.因为e,所以e2,23,可得3,故e1.
