1、3.2函数的基本性质基础篇【基础集训】考点一函数的单调性及最值1.下列说法中正确的个数是()若对任意x1,x2I,当x10,则y=f(x)在I上是增函数;函数y=x2在R上是增函数;函数y=-1x在定义域上是增函数;函数y=1x的单调区间是(-,0)(0,+).A.0B.1C.2D.3答案B2.下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是()A.y=1x-2B.y=log12(2-x)C.y=12x-2D.y=2-x答案B3.函数y=log12(-x2+x+6)的单调增区间为()A.12,3B.-2,12C.(-2,3)D.12,+答案A4.已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+
2、3),则实数a的取值范围为.答案(-,-1)(3,+)考点二函数的奇偶性5.若函数f(x)=x(2x-1)(x+a)为奇函数,则a=()A.12B.23C.34D.1答案A6.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=3x-7x+2b(b为常数),则f(-2)=()A.6B.-6C.4D.-4答案A7.已知奇函数f(x)在(0,+)上单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围为()A.x|0x2B.x|x2C.x|x3D.x|x1答案A考点三函数的周期性8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=-1f(x),当2x3时,f(x)=x,则f(105
3、.5)=()A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5答案B9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2018)+f(2019)=()A.-2B.-1C.0D.1答案B10.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x0,1时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在1,2上的解析式是.答案f(x)=log2(3-x)教师专用题组【基础集训】考点一函数的单调性及最值1.(2020北京房山一模,7)已知函数f(x)=ax,x-1,bx+1,x-1.若f(-2)=0,且f(x)在R上单调递增,则a的取值范围是()A.(0,2B.(1,2C.(1,+
4、)D.2,+)答案B由f(-2)=-2b+1=0,得b=12,又由f(x)在R上单调递增,得a1,a-1-12+1,即11有最大值,则a的取值范围为()A.(-5,+)B.-5,+)C.(-,-5)D.(-,-5答案B当x1时,f(x)=2x+2+a单调递增,则f(x)f(1)=a+4;当x1时,f(x)=log12(x+1)单调递减,则f(x)f(1)=-1,因为函数有最大值,所以4+a-1,解得a-5,故选B.3.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x212,2,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.-5,0B.(-,-50,+)C.(-5,0)
5、D.(-,-5)(0,+)答案A由f(x)=log2x,x12,2,得f(x)-1,1.若存在x1,x212,2,使得g(x2)=f(x1),则g(x)max=g(2)=4+a-1,解得a-5,g(x)min=g12=1+a1,解得a0.综上,-5a0,故选A.4.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),9)记minx,y=y,xy,x,x0,|f(t)+f(-t)|f(t)-f(-t)B.存在t0,|f(t)-f(-t)|f(t)-f(-t)C.存在t0,|f(1+t)+f(1-t)|f(1+t)+f(1-t)D.存在t0,|f(1+t)-f(1-t)|f(1+t)-f(1-t)答案C作出函
6、数f(x)=minx2,x3的图象,显然该函数是单调递增的,所以对任意的t0均有|f(t)-f(-t)|=f(t)-f(-t),且|f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t),因此排除B,D.考虑选项A,当0t1时,f(t)=t3,f(-t)=-t3,则|f(t)+f(-t)|=|t3+(-t)3|=t3-t3=02t3=f(t)-f(-t);当t1时,f(t)=t2,f(-t)=-t3,则|f(t)+f(-t)|=|t2-t3|=t3-t2,f(t)-f(-t)=t2+t3,又t3-t2-(t2+t3)=-2t20,所以|f(t)+f(-t)|f(t)-f(-t),排除A.故选
7、C.5.若函数f(x)=1x在区间2,a上的最大值与最小值的和为34,则a=.答案4解析f(x)=1x在(0,+)上是减函数,因为2,a(0,+),所以f(x)=1x在2,a上也是减函数,所以f(x)max=f(2)=12,f(x)min=f(a)=1a,所以12+1a=34,所以a=4.6.(2020浙江百校联考,11)若函数f(x)=x(x+2)(x-a)为奇函数,则实数a的值为;当x4时,f(x)的最大值为.答案2;13解析本题考查函数的奇偶性,函数的最值;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的核心素养.由函数f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x)恒成立,即-x(-x
8、+2)(-x-a)=-x(x+2)(x-a)恒成立,则x2+(a-2)x-2a=x2+(2-a)x-2a恒成立,所以a-2=2-a,即a=2.所以f(x)=x(x+2)(x-2)=xx2-4=1x-4x.当x4时,g(x)=x-4x单调递增,所以g(x)4-44=3,则f(x)=1x-4x13,即当x4时,f(x)的最大值为13.小题巧解根据定义域关于原点对称可以直接得出a=2.考点二函数的奇偶性1.(多选题)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数答案ABC本题主要考查函
9、数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.f(x+1)为奇函数,f(-x+1)=-f(x+1),f(-x)=-f(x+2),又f(x+2)为奇函数,f(-x+2)=-f(x+2),f(-x)=-f(x+4),-f(x+2)=-f(x+4),f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),f(x)是周期为2的奇函数,f(x+4)是奇函数.f(x)的周期为2,且f(x+1)是奇函数,f(x+3)=f(x+1)是奇函数,故A,B,C均正确.小题巧解由函数f(x+1)和f(x+2)均为奇函数,根据函数图象的平移变换可得点(1,0)和(2,0)均为函数f(x)图象的对称中心.所以函数f(x)的周
10、期为2,利用数形结合即可求解.2.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是()A.y=xB.y=lnxC.y=tanxD.y=ex-e-x答案D由定义域可得y=x和y=lnx是非奇非偶函数,故排除A、B;y=tanx的单调增区间是k-2,k+2,kZ,故排除C;只有D符合要求,故选D.3.(2017北京海淀二模,6)已知f(x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若x1+x2=0,则x1=-x2,f(x1)=f(-x2)=-f(x2)
11、,从而f(x1)+f(x2)=0,故充分性成立;若f(x)=0,则x1=1,x2=2时,f(x1)+f(x2)=0,但x1+x20,故必要性不成立,所以“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分而不必要条件.4.(2017安徽淮南一模,7)函数y=f(x)在0,2上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是()A.f(1)f52f72B.f72f(1)f52C.f72f52f(1)D.f52f(1)f72答案B函数y=f(x)在0,2上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,函数y=f(x)在2,4上单调递减,且在0,4上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x)
12、,f(1)=f(3),f72f(3)f52,即f72f(1)f52.故选B.5.(2018江苏南京、盐城高三二模,10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2+x.若f(a)+f(-a)4,则实数a的取值范围为.答案(-1,1)解析当x0时,f(x)=x2+x为增函数,f(x)为定义在R上的偶函数,f(a)+f(-a)=2f(a)4,f(a)2=f(1),由f(x)是偶函数,得f(a)=f(|a|),f(|a|)f(1),|a|1,-1a1,2x-10,12x-10,f(x)-1;当x(-,0)时,02x1,-12x-10,12x-12,f(x)1,故函数f(x)为值
13、域为(-,-1)(1,+).考点三函数的周期性1.(2020河南模拟,7)已知定义在R上的奇函数f(x),对任意实数x,恒有f(x+3)=-f(x),且当x0,32时,f(x)=x2-6x+8,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2020)=()A.6B.3C.0D.-3答案B根据题意,对任意实数x,恒有f(x+3)=-f(x),则有f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,又由f(x)为定义在R上的奇函数,得f(0)=0,则f(3)=-f(0)=0,又由当x0,32时,f(x)=x2-6x+8,得f(1)=3,f(2)=f(-1+3)=-f(-1)=f(1)
14、=3,f(4)=f(1+3)=-f(1)=-3,f(5)=f(2+3)=-f(2)=-3,则有f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2020)=f(0)+f(1)+f(2)+f(5)336+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3.故选B.解后反思已知a0,若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)的周期为2|a|.2.(2018河南洛阳一模,6)已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=3,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=()A.3B.23C.D.43答案B由y=f(-
15、x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2),则f(x)=f(x+4).所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=23.故选B.3.(2016内蒙古包头一模,9)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在0,2上为增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4答案Bf(x-4)=-f(x),f(x-8)=f(x),函数f(x)是以8为周期的周期函数,又由 f(x-4)=-f
16、(x)可得f(x+2)=-f(x+6)=-f(x-2),因为f(x)是奇函数,所以f(x+2)=-f(x-2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于x=2对称,结合在0,2上为增函数,可得函数的大致图象如图,由图看出,四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2(-6),另两个交点的横坐标之和为22,所以x1+x2+x3+x4=-8.故选B.4.(多选题)(2021届山东潍坊一模)已知函数f(x),xR,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若f(a)=-f(2020),a5,9,且f(x)在5,9上为单调函数,则下列结论正确的是()A.f(3)=0B.a=8C.f(x)是周
17、期为4的周期函数D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案ABxR,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-f(x-5+1)=-f(x-4),f(x-4)=-f(x),f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x),故f(x)的周期T=8.因为T=8,故C错.f(a)=-f(2020)=-f(2528+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-f(6-(-2)=f(8),由a5,9且f(x)在5,9上单调,易得a=8.故B对.f(x)=-f(6-x),f(3)=-f(6-3)=-f(3)f(3)=0
18、,故A对.f(x+1)=f(-x+1),直线x=1为对称轴,故D错.故选AB.5.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),8)设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意xR,都有f(x+8)=f(x)+f(8),则满足条件的f(x)可以是()A.f(x)=3cosx4B.f(x)=3sinx4C.f(x)=3sin2x8D.f(x)=3sin2x16答案C根据f(x)是定义在R上的偶函数,排除B.f(x+8)=f(x)+f(8),令x=0,得f(8)=f(0)+f(8)f(0)=0,排除A.再令x=-8,得f(0)=f(-8)+f(8)f(8)=0,f(x+8)=f(x),故f(x)是周
19、期为8的周期函数,故选C.6.(2019浙江杭州二模(4月),8)设函数f(x)=12|x|-12-12|x|,则函数y=f(f(x)()A.是偶函数也是周期函数B.是偶函数但不是周期函数C.不是偶函数是周期函数D.既不是偶函数也不是周期函数答案A由恒等式maxx,y=x+y+|x-y|2知,f(x)=12|x|-12-12|x|=max-12,-212|x|+12,从而f(f(x)=max-12,-212|f(x)|+12.作出函数y=f(x)的图象,如图.由图可知,其值域为-12,12,所以-212|f(x)|+12-32,12-2,所以-212|f(x)|+120;对定义域内的任意x,都
20、有f(x)=f(-x),则符合上述条件的函数是()A.f(x)=x2+|x|+1B.f(x)=1x-xC.f(x)=ln|x+1|D.f(x)=cosx答案A2.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a0且a1),若f(0)0,则此函数的单调递增区间是()A.(-,-1B.-1,+)C.-1,1)D.(-3,-1答案C考法二函数单调性的应用3.已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是()A.13,23B.13,23C.12,23D.12,23答案A4.若函数f(x)=loga(ax2-x)在闭区间2,4上是增函数,则实数a的取值范围是.答
21、案(1,+)考法三函数奇偶性的判断及应用5.(2020广东揭阳摸底)已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x0),则f(x)在(0,+)上()A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.先递减后递增答案A6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3答案C7.已知f(x)=4-x2,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)g(x)是奇函数C.h(x)=g(x)f(x)2-x是偶函数D.h(x)=f(x)2-g(x)是
22、奇函数答案D8.(2020福建龙岩质量检查)已知f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则fln12=()A.-12B.-1C.1D.12答案B9.(2021届江苏南京六校联考)已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)=f(1-x).当x(0,1时,f(x)=log2(2x+3),则f932的值是()A.-3B.-2C.2D.3答案B考法四函数周期性的确定及应用10.定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1x0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.14B.-14C.-15D.15答案D11.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:
23、对任意的x1,x24,8,当x10;f(x+4)=-f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.abcB.bacC.acbD.cba答案B12.已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为()A.-3B.-2C.2D.3答案D考法五函数值域的求解方法13.函数y=2-xx+1,x(m,n的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.1,2)D.-1,2)答案D14.(2019皖东名校联盟,15)若函数f(x)=-12x+m,xe,x-ln
24、x,xe的值域是e-1,+),其中e是自然对数的底数,则实数m的最小值是.答案3e2-1教师专用题组【综合集训】考法一判断函数单调性的方法1.(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),对于任意x1,x20,+),f(x2)-f(x1)x2-x10(x2x1),则()A.f(-1)f(-2)f(3)B.f(3)f(-1)f(-2)C.f(-2)f(-1)f(3)D.f(3)f(-2)f(-1)答案D由f(-x)=f(x),得f(x)为偶函数,对于任意x1,x20,+),f(x2)-f(x1)x2-x10,即当x0时,f(x)为减函数,则f(3)f(2)f
25、(1),易得f(3)f(-2)f(-1),故选D.2.(2017河南商丘二模,3)设函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,e)上是增函数B.奇函数,且在(0,e)上是减函数C.偶函数,且在(0,e)上是增函数D.偶函数,且在(0,e)上是减函数答案Df(x)的定义域为(-e,e),关于原点对称.f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),函数f(x)是偶函数,在(0,e)上,f(x)=1e+x-1e-x=-2xe2-x20,得-2x0)在(-1,1)上的单调性.解析解法一(定义法):任取x1,x2(-1,1),且x1x2,f(x1)-f(
26、x2)=ax1x12-1-ax2x22-1=ax1x22-ax1-ax2x12+ax2(x12-1)(x22-1)=a(x2-x1)(x1x2+1)(x12-1)(x22-1).-1x1x20,x1x2+10,(x12-1)(x22-1)0.又a0,f(x1)-f(x2)0,故函数f(x)在(-1,1)上单调递减.解法二(导数法):f(x)=(ax)(x2-1)-ax(x2-1)(x2-1)2=a(x2-1)-2ax2(x2-1)2=a(-x2-1)(x2-1)2=-a(x2+1)(x2-1)2.a0,x(-1,1),f(x)0.(1)若2f(1)=f(-1),求a的值;(2)证明:当a1时,
27、函数f(x)在区间0,+)上为单调减函数;(3)若函数f(x)在区间1,+)上是增函数,求a的取值范围.解析(1)由2f(1)=f(-1),可得22-2a=2+a,即3a=2,a=23.(2)证明:当a1时,任取x1,x20,+),且0x1x2,则f(x1)-f(x2)=x12+1-ax1-x22+1+ax2=x12+1-x22+1-a(x1-x2)=x12-x22x12+1+x22+1-a(x1-x2)=(x1-x2)x1+x2x12+1+x22+1-a,因为0x1x12+1,0x2x22+1,所以0x1+x2x12+1+x22+11.因为a1,x1-x20,故f(x)在0,+)上单调递减.
28、(3)任取x1,x21,+),且1x1x2,由(2)知f(x1)-f(x2)=(x1-x2)x1+x2x12+1+x22+1-a,因为f(x)在1,+)上单调递增,所以f(x1)-f(x2)0,又x1-x20恒成立,因为1x1x22+1,所以2x1x12+1,2x2x22+1,两式相加得2(x1+x2)x22+1+x12+1,则22x1+x2x12+1+x22+11,所以0a22.考法二函数单调性的应用1.已知函数f(x)=sinx+3x,x(-1,1),如果f(1-a)-f(1-a2),则实数a的取值范围是()A.(1,2)B.(-,-2)(1,+)C.(-,-2)D.(1,+)答案A易知函
29、数f(x)是奇函数,且在(-1,1)上单调递增,f(1-a)-f(1-a2),f(1-a)f(a2-1),1-aa2-1,-11-a1,-11-a21,解得1a4.若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.1,4C.4,+)D.(-,14,+)答案D函数图象如图.函数在(a,a+1)上单调递增,a+12或a4.a1或a4.3.(2017河南平顶山一模,12)已知f(x)是定义在(0,+)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x20,记a=f(30.2)30.2,b=f(0.32)0.32,c=f(lo
30、g25)log25,则()A.abcB.bacC.cabD.cb0,x1-x2与x2f(x1)-x1f(x2)同号,则x1-x2与x2f(x1)-x1f(x2)x1x2即f(x1)x1-f(x2)x2同号,函数f(x)x是(0,+)上的增函数,130.22,00.322,0.3230.2log25,ba0),对于12,1内的任意两个相异实数x1,x2,恒有|f(x1)-f(x2)|1x1-1x2,则a的取值范围是.答案32,+解析因为a0,所以f(x)=1+ax=x+ax0在(0,+)上恒成立,故函数f(x)在(0,+)上单调递增,设x1x2,则f(x1)1x1-1x2,可得f(x2)+1x2
31、f(x1)+1x1,令h(x)=f(x)+1x,则问题转化为函数h(x)=f(x)+1x在12,1上单调递增,即x2+ax-10在12,1上恒成立,则a1-x2xmax=32,故a的取值范围是32,+.解题关键题中出现绝对值,利用导数判断f(x)的单调性,从而去绝对值,将问题转化为恒成立问题求解.考法三函数奇偶性的判断及应用1.(2013北京文,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|答案CA中y=1x是奇函数,A不正确;B中y=e-x=1ex是非奇非偶函数,B不正确;C中y=-x2+1是偶函数且在(0,
32、+)上单调递减,C正确;D中y=lg|x|在(0,+)上是增函数,D不正确.故选C.2.函数f(x)=9x-a3x的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=()A.1B.-1C.-12D.12答案Df(x)=9x-a3x的图象关于原点对称,函数f(x)是奇函数,f(0)=0,a=1.g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,g(-x)=g(x)对任意的x都成立,lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,lg10x+110x=lg(10x+1)+2bx,lg(10x+1)-x=lg(10x+1)+2bx,-x=2bx对一切x恒成立,b=-12,a+b
33、=12,故选D.3.(2017河北“五个一名校联盟”二模,6)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=log3(x+1),x0,g(x),x0,则g(f(-8)=()A.-1B.-2C.1D.2答案A函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=log3(x+1),x0,g(x),x0,f(-8)=-f(8)=-log39=-2,g(f(-8)=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.故选A.4.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=-2,函数g(x)=x3-sinx-1,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象相交于
34、点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(nN*),则(x1+y1)+(x2+y2)+(xn+yn)=()A.-2n+2B.-2nC.-n+1D.-n答案D由f(x)+f(-x)=-2,得f(-x)+1=-f(x)+1,设h(x)=f(x)+1,则y=h(x)是R上的奇函数.令(x)=g(x)+1,则(x)也是R上的奇函数,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象相交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(nN*),则函数y=h(x)与y=(x)的图象相交于点Q1(x1,y1+1),Q2(x2,y2+1),Qn(xn,yn+1)(nN*).由函数y=h
35、(x)与y=(x)都是R上的奇函数,知两函数图象共有奇数个交点,其中一个为原点,另外n-1个交点,恰好是n-12对关于原点对称的点,所以(x1+y1+1)+(x2+y2+1)+(xn+yn+1)=0,故(x1+y1)+(x2+y2)+(xn+yn)=-n.5.(2017青海西宁联考,9)函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足条件:对任意xR,都有f(x+2)=f(2-x),f(1+x)=-f(x),则f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数答案B对任意xR,都有f(1+x)=-f(x),f(2+x)=f1+(1+x)=-f(1+x)=f(x),f(2-x
36、)=f1+(1-x)=-f(1-x)=-f1+(-x)=f(-x).又对任意xR,都有f(2+x)=f(2-x),f(x)=f(-x).故f(x)为偶函数.又只有常数函数既是奇函数又是偶函数,函数f(x)在定义域R上不是常数函数,函数f(x)不可能为奇函数.故选B.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=;不等式f(x)0的解集为.答案-x2+4;(-2,0)(2,+)解析当x0,则-x0时,f(x)=-x2+4.由f(x)0,-x2+40或x0,x2-42,解不等式组得x|-2x0,由可知f(x)0的解集为x|-2x2.考法四函数周期性的确定及应用1.(2017浙江台州
37、一模,3)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2017)=()A.-2017B.0C.1D.2017答案By=f(x)是R上周期为2的周期函数,即f(x)=f(x+2),令x=-1,知f(1)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=f(-1)=0.因此f(2017)=f(1)=0,故选B.2.已知函数f(x)的定义域为R.当x1时,f(x+2)=f(x),则 f(8)=.答案2-ln2解析x1时,f(x+2)=f(x),f(8)=f(8-32)=f(2),2e,f(2)=-f(-2)=-(ln2-2)=2-ln2.f(8)=2-ln2.3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中
38、,16)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的xR都有f(1+x)=f(1-x),且当x0,1时,f(x)=2x-1,则当x-2,6时,方程f(x)=-12所有根之和为.答案4解析由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函数f(x)是奇函数,所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),从而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.又由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,从而其图象关于直线x=-1也对称,由周期性知函数图象关于直线x=2k+1,kZ对称.由题意知函数f(x)在区间0,1是增函数,其值域为0,1,此时方程f(x)=-12无解,由对称
39、性知函数f(x)在区间1,2是减函数,其值域为0,1,此时方程f(x)=-12也无解.由函数图象关于原点对称知方程f(x)=-12在区间-2,-1和-1,0上各有一根,由对称性知两根之和为-2.由周期性知方程f(x)=-12在区间2,3和3,4上各有一根,由对称性知两根之和为6.由对称性知,在区间4,6上方程f(x)=-12无解,故在区间-2,6上共有4个根,其和为4.4.(2018浙江高考模拟卷,12)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当x-3,3)时,f(x)=-(x+2)2,-3x-1,x,-1x3,则f(4)=;f(1)+f(2)+f(3)+f(2016)+f(201
40、7)=.答案0;337解析f(4)=f(-2)=0,因为f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(6)=1,又因为2017=6336+1,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2016)+f(2017)=3361+1=337.5.已知f(x)对任意的xR,都有f(x-1)=f(x+1).当x(-2,0时,f(x)=x+1,则当2x4时,f(x)x的最大值为.答案14解析由f(x-1)=f(x+1),得f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期为2的周期函数,当2x4时,-2x-40,因此
41、f(x-4)=(x-4)+1=x-3,所以当20且a1,函数f(x)=5ax+3ax+1+4loga1+x1-x,其中-14x14,则函数f(x)的最大值与最小值之和为.答案8解析f(x)=4+ax-1ax+1+4loga1+x1-x,令g(x)=ax-1ax+1+4loga1+x1-x,可知g(-x)=-g(x),故函数g(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)的图象关于点(0,4)对称,故函数f(x)的最大值与最小值之和为8.3.已知x1,则函数y=1x-1+x的最小值为.答案3解析x1,x-10,y=1x-1+x=1x-1+(x-1)+121x-1(x-1)+1=3,当且仅当1x-1=x
42、-1,即x=2时“=”成立.4.已知函数f(x)=(2-a)x+3a,x1,log2x,x1的值域为R,则实数a的取值范围是.答案-1,2)解析函数f(x)=(2-a)x+3a,x0,2a+20,解得-1a2.实数a的取值范围是-1,2).5.对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)=x1,x1x2,x2,x1x2.若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x)的最小值为.答案-1解析因为f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当x2+x-20时,解得x1或x-2.当-2x1时,x2+x-20,即f(x)g(x),所以max(f(x),g(x)=-x,-2x1,x2-2,x1或x-2,作出图象如图所示,由图象可知最小值在A处取得,所以最小值为f(1)=-1.
