1、第一节数列的概念与简单表示本节主要包括2个知识点：1.数列的通项公式；2.数列的单调性.突破点(一)数列的通项公式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)2数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式3数列的递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)(或anf(an1，an2)等
2、)，那么这个式子叫做数列an的递推公式4Sn与an的关系已知数列an的前n项和为Sn，则an这个关系式对任意数列均成立考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 由数列的前几项求数列的通项公式例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，
3、偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)方法技巧由数列的前几项求通项公式的思路方法给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)若第n项和第n1项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控(3)熟悉一些常见数列的通项公式(4)对于较复杂数列的通项公
4、式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳利用an与Sn的关系求通项例2已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，所以an的通项公式为an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式所以当b1时，an23n1；
5、当b1时，an方法技巧已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写利用递推关系求通项例3(1)已知数列an满足a1，an1an，则an_；(2)若数列an满足a1，an1an，则通项an_；(3)若数列an满足a11，an12an3，则an_；(4)若数列an满足a11，an1，则an_.解析(1)由条件知an1an，则(a2a1)(a3a2)(a4a3
6、)(anan1)，即ana11，又a1，an1.(2)由an1an(an0)，得，故ana1.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，则t3.故an132(an3)令bnan3，则b1a134，bn0，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.(4)an1，a11，an0，即，又a11，则1，是以1为首项，为公差的等差数列(n1)，an.答案(1)(2)(3)2n13(4)方法技巧由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求
7、an.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解(5)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知nN*，给出4个表达式：anan，an，an.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()A B C D解析：选A检验知都是所给数列的通项公式2.数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n1(
8、nN*)Ban(1)n1(nN*)Can(1)n1(nN*)Dan(1)n1(nN*)解析：选D所给数列各项可写成：，通过对比各选项，可知选D.3.已知数列an的前n项和为Snn22n2，则数列an的通项公式为()Aan2n3 Ban2n3Can Dan解析：选C当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n3，由于n1时a1的值不适合n2的解析式，故an的通项公式为an4.设数列an满足a11，且an1ann1，求数列an的通项公式解：由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)当n1时也满足此式，an(nN*)5.若数列an
9、满足：a11，an1an2n，求数列an的通项公式解：由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.又因为当n1时满足此式，所以an2n1.突破点(二)数列的单调性基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 利用数列的单调性研究最值问题例1已知数列a
10、n的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？解(1)取n1，得a2S12a1，即a1(a12)0.若a10，则Sn0，当n2时，anSnSn1000，所以an0.若a10，则a1，当n2时，2anSn,2an1Sn1，两式相减得2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.综上，当a10时，an0；当a10时，an.(2)当a10且100时，令bnlg，由(1)知bnlg2nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为lg 2)则b
11、1b2b6lglglg 10，当n7时，bnb7lglg0数列an是单调递增数列；an1an0时，1数列an是单调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；0，且a1)，若数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A(0,1)B.C(2,3) D(1,3)解析因为an是递增数列，所以解得a3，所以实数a的取值范围是.答案B方法技巧已知数列的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理(2)利用数列与函数之间的特殊关系
12、，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B. C4 D0解析：选Dan32，由二次函数性质，得当n2或n3时，an取最大值，最大值为a2a30.故选D.2.若数列an满足：a119，an1an3，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6 B7 C8 D9解析：选Ba119，an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n，则an是递减数列设an的前k项和数值最大，则有即k，kN*，k
13、7.满足条件的n的值为7.3.已知an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析：对于任意的nN*，ann2n恒成立，an1an(n1)2(n1)n2n2n1.又an是递增数列，an1an0，且当n1时，an1an最小，an1ana2a130，3.答案：(3，)4.已知数列an中，an1(nN*，aR，且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围解：(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1.结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最
14、大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，知56，10a0，考虑函数yt，易知其在(0,1上单调递减，在(1，)上单调递增，且当t1时，y的值最小，再考虑函数t5x，当0x1时，t(1,5，则可知an5nn在(0,1上单调递增，所以当n时，an取得最小值答案： 练常考题点检验高考能力一、选择题1已知数列an的前n项和Snn22n，则a2a18()A36 B35 C34 D33解析：选C当n2时，anSnSn12n3；当n1时，a1S11，所以an2n3(nN*)，所以a2a1834.2数列an中，a11，对于所有的n2，nN*都
15、有a1a2a3ann2，则a3a5()A. B. C. D.解析：选A令n2,3,4,5，分别求出a3，a5，a3a5.3在各项均为正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.若a664，则a9等于()A256 B510C512 D1 024解析：选C在各项均为正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.a6a3a364，a38.a9a6a3648512.4已知数列an满足a115，且3an13an2.若akak10，则正整数k()A21 B22 C23 D24解析：选C由3an13an2得an1an，则an是等差数列，又a115，ann.akak10，0，k2n1(n
16、1p)，则p0，(n1)an1nan0，即，a11，an.答案：三、解答题11已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由Snaan(nN*)，可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Snaan，当n2时，Sn1aan1，整理得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.12已知数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于nN*，都有an1an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)
