1、2023届高考数学专题复习之-坐标系与参数方程【高考展望】从近几年高考情况来看，本讲仍旧延续题型灵活、难度中等的趋势。预测2022年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，参数方程的几何意义。普通方程、参数方程之间的转化等等。【考点1】坐标系一、直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，如右图所示，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为和，则，二、直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程为：和；（2）过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：；（3）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为：；三、圆的极坐标方程：（1）圆心在极
2、点处，半径为r的圆的极坐标方程为：；（2）圆心为，半径为r的圆的极坐标方程为：；（3）圆心为，半径为r的圆的极坐标方程为：；四、直角坐标与极坐标的互化（1）直角坐标方程化为极坐标方程时，我们一般是应用公式的代入，并且在把直角坐标化为极坐标时，求极角时，一定要注意点所在的象限，以便正确地求出极角；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时。我们一般构造形如的形式，整体代换。（3）对于极坐标系中两曲线位置关系的探究，常将两曲线分别由极坐标方程转化为直角坐标方程，从而在我们所熟悉的直角坐标方程的状态下解决问题。【考点2】参数方程一、直线的参数方程过定点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)二、圆的参数方程
3、圆心在点，半径为r的圆的参数方程为（为参数，）三、圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程为 (为参数)双曲线的参数方程为 (为参数)抛物线的参数方程为 (为参数)四、参数方程和普通方程的互化及应用（1）普通方程化为参数方程时，首先要选取合适的参数，并且要注意参数的取值范围，以使得化成的参数方程与原来的普通方程等价；（2）参数方程化为普通方程的思路是消参。消参的方法主要有三种：第一种是利用解方程的方法消参，包括代入消参法、加减消参法；第二种方法是利用三角恒等式消参，主要用到的是；第三种方法是根据参数方程本身的结构特征进行灵活的消参法。这个方法要根据题目的特点具体问题具体对待。五、直线参数方程的标准形式
4、中的几何意义：已知过定点，且倾斜角为的直线参数方程的标准形式为 (为参数)的几何意义是直线上的点到定点的数量，其中时为距离。使用该形式时，设直线上任意两点对应的参数分别为，则有以下结论成立：（1）；（2）的中点对应的参数为；（3）。注：如果直线参数方程不是标准形式，应先化为标准形式，然后才能利用标准形式中的几何意义解题。2022年高考数学专题复习之-坐标系与参数方程题型一、极坐标方程和直角坐标方程的互化1已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为，（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意
5、一点，求的取值范围。2在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）已知射线（其中）与圆交于，两点，射线与直线交于点，若，求的值题型二、平面直角坐标系中的伸缩变换1将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.2已知直线为参数), 曲线 （为参数）.（1）设与相交于两点,求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点
6、是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.题型三、直线的极坐标方程1在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. 2在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=.（1）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（2）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a题型四、圆锥曲线的极坐标方程1在极坐标系中，已知三点.（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）
7、以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.2. 在极坐标系中，直线，为直线上一点，且点在极轴上方，以为一边作正三角形（逆时针方向），且面积为，（1）求点的极坐标；（2）求外接圆的极坐标方程，并判断直线与外接圆的位置关系。题型五、参数方程和普通方程的互化1在平面直角坐标系中，（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为（1）试求;（2）设点对应的轨迹为曲线，若曲线上存在四个点到直线的距离为1，求实数的取值范围2在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的
8、直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求.题型六、直线的参数方程1在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：=6（1）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值；（2）过点M（，0）且与直线l平行的直线l1交C于A, B两点，求点M到A，B两点的距离之积2在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，直线：.（1）判断曲线C与直线的位置关系，写出直线的参数方程；（2）设直线与曲线C的两个交点分别为A、B，求的值.3在直角坐标系
9、中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线：=0，直线过点M(0,4)且斜率为-2.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线的标准参数方程；（2）若直线与曲线C交于、两点，求的值.题型七、圆锥曲线的参数方程1已知曲线：，直线：（为 参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.2在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.3已知动点都在曲线为参数
10、)上，对应参数分别为与，为的中点，（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。题型八、直线的参数方程中，利用参数的几何意义解决问题. 1在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，（1）写出直线和曲线的普通方程；（2）设直线和曲线交于两点，定点，求的值2在极坐标系中，已知圆的圆心，半径（1）求圆的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围题型九、考查圆锥曲线有关几何量问题1已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点处的切线为l，以坐标原
11、点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l的极坐标方程； （2）过点任作一直线交曲线C于两点，求的最小值.2在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为（为参数,为直线的倾斜角）（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小题型十、圆锥曲线中的最值问题1以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）为极点， 为圆上的两点，且，求的最大值2已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与正半轴重合，且长度单
12、位相同，直线的极坐标方程为，点，（参数）.（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）求点到直线距离的最大值.3在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.4. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求2022年高考数学专题复习之-坐标系与参数方程 答案题型一、极坐标方程和直角坐标方程的互化1、解（1）由已知可得，；，即，。（2）设，令，则，因为
13、，所以，所以的取值范围是。2、解（1）将，代入直线l的直角坐标方程，得直线l的极坐标方程为：，即，圆C的普通方程是，所以圆C的极坐标方程是；（2）由题意，则，解得，又因为，故.题型二、平面直角坐标系中的伸缩变换1、解（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得，由 得，即曲线C的方程为，故C得参数方程为 （t为参数）.（2）由解得：，或.不妨设,则线段的中点坐标为，所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得，即.2、解（1）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为, 则. （2）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得
14、最小值, 且最小值为. 题型三、直线的极坐标方程1、解（1）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为. （2）将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，则的面积=.2、解（1）（均为参数）,， 为以为圆心,为半径的圆方程为，,即为的极坐标方程（2）,两边同乘得，, 即，：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为得：,即为，,题型四、圆锥曲线的极坐标方程1、解（1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为.（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得.2、解（1）设，由题意得，所以，所以，所以，因为为正三角形，所以的极角
15、为，且，所以点的极坐标为；（2）因为为正三角形，计算可得其外接圆直径，又由平面几何知识知，由（1），所以，设为外接圆上任意一点，在中，所以满足，故外接圆的极坐标方程为，直线，外接圆的直角坐标方程为。圆心到直线的距离，即为半径，故直线与外接圆相切。题型五、参数方程和普通方程的互化1、解（1）由（为参数），消去参数得：，故动点A的普通方程为：；（2）由（1）知，动点A的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，由，展开得，所以l的普通方程为，要使圆上有四个点到直线的距离为1，则必须满足，解得.2、解（1），得到，因为则曲线的直角坐标方程为.（2）将代入，得到.又因为，则，所以解得：，所以或，则或.题型六、直线
16、的参数方程1、解（1）直线l：化成普通方程为设点P的坐标为，则点P到直线l的距离为：，当时，点，此时（2）曲线C化成普通方程为，即，的参数方程为（t为参数），代入，化简得，得，所以2、解（1）曲线C的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，与y轴的交点为，将代入椭圆方程左边得，故点在椭圆的内部。所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为（为参数）（2）直线的参数方程为：（为参数），曲线C的直角坐标方程为：,将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有 ,设两根为，. . 3、解（1）由=0得，曲线的直角坐标方程为，设直线的倾斜角为，则，为钝角，由平方关系可解得，直线的标准参数方程为(为参数）.
17、（2）由（1）知直线的标准参数方程为(为参数），代入整理得，设点对应的参数分别为，则，则=. 题型七、圆锥曲线的参数方程1、解：2、解：（1）C的普通方程为可得C的参数方程为（为参数，），（2）设D（1+cost,sint).由（1）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。，。故D的直角坐标为,即。3、解（1）依题意有，因此，所以的轨迹的参数方程为： （为参数，）；（2）点到坐标原点的距离：，当时，故的轨迹过坐标原点。题型八、直线的参数方程中，利用参数的几何意义解决问题. 1、解：(1)，所以，所以，即；直线的普通方程为：. (2)把
18、直线的参数方程代入到圆：，得，因为点显然在直线上，由直线标准参数方程下的几何意义知：= 所以. 2、解：(1)由得，直角坐标，所以圆的直角坐标方程为，由得，圆的极坐标方程为：. (2)将，代入的直角坐标方程，得 ，则，设，对应参数分别为，则，因为，所以，所以，所以的取值范围为. 题型九、考查圆锥曲线有关几何量问题1、解（1）；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.（2）曲线的方程可知曲线为圆心在原点半径为的圆.设圆心到直线的距离为,则可得,.由分析可知,.2、解（1）当时，直线l的普通方程为；当时，直线l的普通方程为，由，得，所以，即为曲线C的直角坐标方程；（2）把
19、，代入，整理得，由，得，所以或，故直线l的倾斜角为或.题型十、圆锥曲线中的最值问题1、解（1）圆的极坐标方程为，又，圆的直角坐标方程为. （2）不妨设的极角为，的极角为，则，当时，取得最大值 2、解（1）设点，则且，消去参数得点的轨迹方程：； （2）由得：，即，所以直线的直角坐标方程为；由于的轨迹为圆，圆心到直线距离为，由数形结合得点到直线距离的最大值为.3、解（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. 4、解（1）曲线的普通方程为当时，直线的普通方程为版权所有：高考资源网()
