1、天天练 19 平面向量的数量积及其应用 一、选择题1(2016课标全国，3,5 分)已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m()A8 B6 C6 D82(2016 课标全国，3,5 分)已知向量BA 12，32，BC 32，12，则ABC()A30 B45 C60 D1203设向量 a，b 满足 a(1,2)，|b|5，ab5，且 a，b 的夹角为，则 cos()A.55B.2 55C.105D.1554(2017河南质检)已知平面向量 a，b 的夹角为23，且 a(ab)8，|a|2，则|b|等于()A.3B2 3C3 D45(2017芜湖一模)若 O 为平面内任意一点，且
2、(OB OC 2OA)(ABAC)0，则ABC 是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形6(2016北京，4)设 a，b 是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7(2017重庆测试)设单位向量 e1，e2 的夹角为23，ae12e2，b2e13e2，则 b 在 a 方向上的投影为()A3 32B 3C.3D.3 328(2017长沙一模)若同一平面内向量 a，b，c 两两所成的角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，则|abc|等于()A2
3、B5 C2 或 5 D.2或 5二、填空题9(2016课标全国，13)设向量 a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_.10(2017广州二测)已知平面向量 a 与 b 的夹角为3，a(1，3)，|a2b|2 3，则|b|_.11设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积 ab(a1b1，a2b2)，已知向量 m2，12，n3，0，点 P(x，y)在 ysinx 的图象上运动，Q 是函数 yf(x)图象上的点，且满足OQ mOP n(其中 O为坐标原点)，则函数 yf(x)的值域是_三、解答题12(2017河南适应性测试)在ABC 中，A、B、C 的对
4、边分别为 a，b，c，已知向量 m(cosB,2cos2C21)，n(c，b2a)，且 mn0.(1)求角 C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足AD DB，|CD|7，c2 3，求ABC 的面积1D 由题可得 ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m8.故选 D.2A cosABC BABC|BA|BC|32，所以ABC30，故选 A.3A cos ab|a|b|555 55.4D 因为 a(ab)8，所以 aaab8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以 42|b|128，解得|b|4.5C 由(OB OC 2OA)(ABAC)0 得(ABAC)(ABAC)
5、0，AB 2AC 20，即|AB|AC|，ABAC，即ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形6D 当|a|b|0 时，|a|b|ab|ab|.当|a|b|0 时，|ab|ab|(ab)2(ab)2ab0ab，推不出|a|b|.同样，由|a|b|也不能推出 ab.故选 D.7A 依题意得 e1e211cos23 12，|a|e12e22e214e224e1e2 3，ab(e12e2)(2e13e2)2e216e22e1e292，因此 b 在 a 方向上的投影为ab|a|923 3 32，选 A.8C 因为同一平面内向量 a，b，c 两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是 120时，|a
6、bc|2a2b2c22ab2ac2bc1191334，即|abc|2；当三个向量所成的角都是 0时，|abc|5.故|abc|2 或 5.92解析：由|ab|2|a|2|b|2，知 ab，abm20，m2.102解析：因为|a2b|2 3，所以 a24ab4b212，即 442|b|cos34|b|212，解得|b|2.11.12，12解析：设 Q(c，d)，由新的运算可得OQ mOP n2x，12sinx 3，02x3，12sinx，由c2x3，d12sinx，消去 x 得 d12sin12c6，所以 yf(x)12sin12x6，易知 yf(x)的值域是12，12.12解析：(1)m(co
7、sB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，ccosB(b2a)cosC0，在ABC 中，由正弦定理得sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，sinA2sinAcosC，又sinA0，cosC12，而 C(0，)，C3.(2)由AD DB 知，CD CACBCD，所以 2CD CACB，两边平方得 4|CD|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，a2b2ab12.由得 ab8，SABC12absinACB2 3.2016-2017 学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分
8、40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M=0，1，2，N=x，若 MN=0，1，2，3，则 x 的值为（）A3B2C1D02如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A球B圆柱C圆台D圆锥3在区间0，5内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为（）ABCD4某程序框图如图所示，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值是（）A2B3C4D55已知向量=（1，2），=（x，4），若 ，则实数 x 的值为（）A8B2C2 D86某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600，400，800为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取 45 名学生
9、进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A15，5，25B15，15，15 C10，5，30D15，10，207如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 BD 与 A1C1 的位置关系是（）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直8不等式（x+1）（x2）0 的解集为（）Ax|1x2 Bx|1x2Cx|x2 或 x1 Dx|x2 或 x19已知两点 P（4，0），Q（0，2），则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5 B（x2）2+（y1）2=10 C（x2）2+（y1）2=5D（x+2）2+（y+1）2=1010如图，在高速公路建设中需要确定
10、隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点 A、B 到点 C 的距离 AC=BC=1km，且ACB=120，则 A、B 两点间的距离为（）Akm Bkm C1.5kmD2km 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分11计算：log21+log24=12已知 1，x，9 成等比数列，则实数 x=13已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则 z=x+y 的最大值是 14已知 a 是函数 f（x）=2log2x 的零点，则 a 的值为 15如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，现在沿 EF把这个矩形折成一个直二面
11、角 AEFC（如图 2），则在图 2 中直线 AF 与平面EBCF 所成的角的大小为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知，（1）求 tan；（2）求的值17某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了 100 位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清（1）试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？18已知等比数列an的公比 q=2，且 a2，a3+1，a4 成
12、等差数列（1）求 a1 及 an；（2）设 bn=an+n，求数列bn的前 5 项和 S519已知二次函数 f（x）=x2+ax+b 满足 f（0）=6，f（1）=5（1）求函数 f（x）解析式（2）求函数 f（x）在 x2，2的最大值和最小值20已知圆 C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长；（2）直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合，l 与圆 C 相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点，求直线 m 的方程，使CDE的面积最大 2016-2017 学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下
13、）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M=0，1，2，N=x，若 MN=0，1，2，3，则 x 的值为（）A3B2C1D0【考点】并集及其运算【分析】根据 M 及 M 与 N 的并集，求出 x 的值，确定出 N 即可【解答】解：集合 M=0，1，2，N=x，且 MN=0，1，2，3，x=3，故选：A 2如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A球B圆柱C圆台D圆锥【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体为圆锥【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥
14、故选 D 3在区间0，5内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意，要使此数大于 3，只要在区间（3，5上取即可，利用区间长度的比求【解答】解：要使此数大于 3，只要在区间（3，5上取即可，由几何概型的个数得到此数大于 3 的概率为为；故选 B 4某程序框图如图所示，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值是（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入 x=1，y=11+3=3，输出 y 的值为 3故选：B 5已知向量=（1，2），=（x，4），若 ，则实数
15、 x 的值为（）A8B2C2 D8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可【解答】解：，42x=0，得 x=2，故选：B 6某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600，400，800为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A15，5，25B15，15，15 C10，5，30D15，10，20【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论【解答】解：高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600，400，800从这三个年级中抽取
16、 45 名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：451510=20故选：D 7如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 BD 与 A1C1 的位置关系是（）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】连接 AC，则 ACA1C1，ACBD，即可得出结论【解答】解：正方体的对面平行，直线 BD 与 A1C1 异面，连接 AC，则 ACA1C1，ACBD，直线 BD 与 A1C1 垂直，直线 BD 与 A1C1 异面且垂直，故选：D 8不等式（x+1）（x2）0 的解集为（）Ax|1x2 Bx|1x2Cx|x2 或 x1
17、 Dx|x2 或 x1【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集【解答】解：不等式（x+1）（x2）0 对应方程的两个实数根为1 和 2，所以该不等式的解集为x|1x2故选：A 9已知两点 P（4，0），Q（0，2），则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5 B（x2）2+（y1）2=10 C（x2）2+（y1）2=5D（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段 PQ，所以圆心为 P，Q 的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段 PQ 长度的一半，求出线段 P
18、Q 的长度，除 2 即可得到半径，再代入圆的标准方程即可【解答】解：圆的直径为线段 PQ，圆心坐标为（2，1）半径 r=圆的方程为（x2）2+（y1）2=5故选：C 10如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点 A、B 到点 C 的距离 AC=BC=1km，且ACB=120，则 A、B 两点间的距离为（）Akm Bkm C1.5kmD2km【考点】解三角形的实际应用【分析】直接利用与余弦定理求出 AB 的数值【解答】解：根据余弦定理 AB2=a2+b22abcosC，AB=（km）故选：A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分11计算
19、：log21+log24=2【考点】对数的运算性质【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【解答】解：log21+log24=0+log222=2故答案为：2 12已知 1，x，9 成等比数列，则实数 x=3【考点】等比数列【分析】由等比数列的性质得 x2=9，由此能求出实数 x【解答】解：1，x，9 成等比数列，x2=9，解得 x=3故答案为：3 13已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则 z=x+y 的最大值是 5【考点】简单线性规划【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可【解答】解：由已知，目标函数变形为 y=x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在 y 轴的截
20、距最大，使得 z 最大，所以 z 的最大值为 3+2=5；故答案为：5 14已知 a 是函数 f（x）=2log2x 的零点，则 a 的值为 4【考点】函数的零点【分析】根据函数零点的定义，得 f（a）=0，从而求出 a 的值【解答】解：a 是函数 f（x）=2log2x 的零点，f（a）=2log2a=0，log2a=2，解得 a=4故答案为：4 15如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，现在沿 EF把这个矩形折成一个直二面角 AEFC（如图 2），则在图 2 中直线 AF 与平面EBCF 所成的角的大小为 45【考点】直线与平面所成的角【分析】由
21、题意，AE平面 EFBC，AFE 是直线 AF 与平面 EBCF 所成的角，即可得出结论【解答】解：由题意，AE平面 EFBC，AFE 是直线 AF 与平面 EBCF 所成的角，AE=EF，AFE=45故答案为 45 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知，（1）求 tan；（2）求的值【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）由，结合同角平方关系可求 cos，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知 tan 的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以 cos2，然后把已知 tan 的值代入可求【解答】解
22、：（1）sin2+cos2=1，cos2=又，cos=（2）=17某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了 100 位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清（1）试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？【考点】频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于 1，求出 a 的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于 8 元的频率就能求出
23、公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）2=1，解得 a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于 8 元的有：2=200，18已知等比数列an的公比 q=2，且 a2，a3+1，a4 成等差数列（1）求 a1 及 an；（2）设 bn=an+n，求数列bn的前 5 项和 S5【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得 bn=2n1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的
24、求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）由已知得 a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又 a2，a3+1，a4 成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以 2（4a1+1）=2a1+8a1，解得 a1=1，故 an=a1qn1=2n1；（2）因为 bn=2n1+n，所以 S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+16）+（1+2+5）=+=31+15=46 19已知二次函数 f（x）=x2+ax+b 满足 f（0）=6，f（1）=5（1）求函数 f（x）解析式（2）求函数 f（x）在 x2，2的最大值和最小值【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值【分析
25、】（1）利用已知条件列出方程组求解即可（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可【解答】解：（1）；（2）f（x）=x22x+6=（x1）2+5，x2，2，开口向上，对称轴为：x=1，x=1 时，f（x）的最小值为 5，x=2 时，f（x）的最大值为 14 20已知圆 C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长；（2）直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合，l 与圆 C 相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点，求直线 m 的方程，使CDE的面积最大【考点】
26、直线与圆的位置关系【分析】（1）把圆 C 的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线 l 的方程，与圆 C 的方程组成方程组，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线 m 的方程，由圆心 C 到直线 m 的距离，写出CDE 的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出 CDCE 时CDE 的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线 m 的方程【解答】解：（1）圆 C：x2+y2+2x3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心 C 的坐标为（1，0），圆的半径长为 2；（2）设直线 l 的方程为 y=kx，联立方程组，消去 y 得（1+k2）x2+2x3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线 m 的方程为 y=kx+b，则圆心 C 到直线 m 的距离，所以，当且仅当，即时，CDE 的面积最大，从而，解之得 b=3 或 b=1，故所求直线方程为 xy+3=0 或 xy1=0解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以2，当且仅当 CDCE 时，CDE 的面积最大，此时；设直线 m 的方程为 y=x+b，则圆心 C 到直线 m 的距离，由，得，由，得 b=3 或 b=1，故所求直线方程为 xy+3=0 或 xy1=0 2017 年 5 月 5 日
