1、第六节本节主要包括3个知识点：1.对数的运算；2.对数函数的图象及应用；3.对数函数的性质及应用.对数与对数函数突破点(一)对数的运算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 对数的概念、性质及运算概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaNN运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)重要公式(1)换底公式：logab(a0，且a1，c0，且
2、c1，b0)；(2)logab，推广logablogbclogcdlogad.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 对数的运算典例计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(2)；(3)(log32log92)(log43log83)解(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.(3)原式.方法技巧解决对数运算问题的四种常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公
3、式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.log2()A2 B22log23C2 D2log232解析：选B2log23，又log2log23，两者相加即为B.2.lg 25lg 2lglog29log32的值是_解析：原式lg 5lg 2212.答案：3.lglglg_.解析：原式(5lg 22lg 7)3lg 2(lg 52lg 7)(lg 2lg 5).答案：4已知2x12，log2y，则xy的值为_解析：2x12，xlog212，xylog212log2log242.答案：25设2a5bm，且2，则m_.解析：2a5bm
4、0，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m210，m.答案：突破点(二)对数函数的图象及应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1对数函数的图象函数ylogax，a1ylogax,0a1图象图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0cd1a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 对数函数图象辨析例1函数f(x)
5、lg的大致图象为()解析f(x)lglg|x1|的图象可由偶函数ylg|x|的图象左移1个单位得到由ylg|x|的图象可知选D.答案D方法技巧研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1或0a1这两种不同情况对数函数图象的应用例2(2017长沙五校联考)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x21 D0x1x21解析构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x21，1
6、x10，则10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，因此10x210x1lg(x1x2)，因为10x210x10，所以lg(x1x2)0，即0x1x21.答案D能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点二已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x3x1 Bx1x3x2Cx1x2x3 Dx3x2x1解析：选A分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x2x30且a1)的图象可能是()解析：选D当a1时，函数f(x)xa(x0)单调递增，函数g(x)logax单
7、调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1解析：选D由对数函数的性质得0a1，因为函数yloga(xc)的图象在c0时是由函数ylogax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0c1.4考点二当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则实数a的取值范围是_解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0a1时，如图，要使
8、x(1,2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21，所以10，且a1)a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求函数的定义域例1函数f(x)lg的定义域为()A(2,3)B(2,4C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6解析由得故函数定义域为(2,3)(3,4，故选C.答案C比较对数式的大小例2已知alog，blog，clog2，则()Aabc BbcaCcba Dbac解析alog1,0bloglog321，clog2 log23bc.答案A方法技巧
9、比较对数式大小的三种方法(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底(2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”(3)图象法：根据图象观察得出大小关系简单对数不等式的求解例3已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_解析原不等式或，解不等式组得x，不等式组无解，所以实数x的取值范围为.答案方法技巧简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究
10、对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解对数函数的综合问题例4函数f(x)loga(ax3)(a0，且a1)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0,1)C. D(3，)解析由于a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又uax3在1,3上恒为正，a30，即a3.答案D方法技巧与对数有关的单调性问题的解题策略(1)求出函数的定义域(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论(3
11、)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点一函数y的定义域是()A1,2 B1,2)C. D.解析：选D由log(2x1)0，得02x11，即x1，即函数定义域为.2考点二(2017石家庄模拟)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()AabcCabbc解析：选B因为alog23log2log23log231，blog29log2log23a，clog32c.3考点四若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，)
12、D2，)解析：选A令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)4考点四设函数f(x)|logax|(0a1)的定义域为m，n(mn)，值域为0,1，若nm的最小值为，则实数a的值为()A. B.或C. D.或解析：选C作出y|logax|(0a1)的大致图象如图，令|logax|1，得xa或x，又1a1a0，故1ab1,0c1，则()Aacbc BabcbacCalogbcblogac Dlogacb1,0cbc，选项A不正确yx，(1,0)在(0，)上是减函数，当ab1,0c1，即1c10时，ac1bac，选项B不正确a
13、b1，lg alg b0，alg ablg b0，.又0c1，lg c0.，alogbclogbc，选项D不正确2(2013新课标全国卷)设alog36，blog510，clog714，则()Acba Bbca Cacb Dabc解析：选Dalog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数ylog3x，ylog5x，ylog7x的图象(图略)，由三个图象的相对位置关系，可知abc，故选D.3(2012新课标全国卷)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D
14、(，2)解析：选B0x，14x1，0a1，排除C、D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除A，故选B.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1已知0a1，xlogaloga，yloga5，zlogaloga，则()Axyz BzyxCyxz Dzxy解析：选C依题意，得xloga，yloga，zloga.又0a1，因此有logalogaloga，即yxz.2(2017天津模拟)已知alog25，blog5(log25)，c0.52，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbcaCcba Dba2，blog5(log25)(0,1
15、)，c0.52(1,2)，可得bc0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac解析：选B由已知得5ab,10cb，5a10c，5d10，5dc10c，则5dc5a，dca，故选B.2设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BprqCqrp Dprq解析：选B因为ba0，故.又f(x)ln x(x0)为增函数，所以ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)lnp，即prq.3(2016浙江高考)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1
16、)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0解析：选Da，b0且a1，b1，当a1，即a10时，不等式logab1可化为alogaba1，即ba1，(a1)(ab)0，(b1)(a1)0，(b1)(ba)0.当0a1，即a10时，不等式logab1可化为alogaba1，即0ba1，(a1)(ab)0，(b1)(a1)0，(b1)(ba)0.综上可知，选D.4已知lg alg b0(a0且a1，b0且b1)，则函数f(x)ax与g(x)logbx的图象可能是()解析：选B因为lg alg b0，所以lg ab0，所以ab1，即b，故g(x)logbxlogxlogax，
17、则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，结合图象知B正确故选B.5.(2017西安模拟)已知函数f(x)loga2xb1(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1B0ba11C0b1a1D0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上有0b0，且a1)在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(2)的大小关系是()Af(a1)f(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能确定解析：选A由已知得0a1，所以1a1f(2)二、填空题7lglg2052_.解析：原式lg1555.答案：8若正数a
18、，b满足2log2a3log3blog6(ab)，则的值为_解析：设2log2a3log3blog6(ab)k，可得a2k2，b3k3，ab6k，所以108.答案：1089函数f(x)log2log(2x)的最小值为_解析：依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当且仅当log2x，即x时等号成立，因此函数f(x)的最小值为.答案：10若函数f(x)loga(a0，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_解析：令Mx2x，当x时，M(1，)，f(x)0，所以a1.所以函数ylogaM为增函数，又M2，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x
19、0或x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解：(1)要使函数f(x)有意义则解得1x1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以f(x)01，解得0x0的x的解集是(0,1)
