1、第3讲合情推理与演绎推理, 学生用书P208)1推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程(2)分类：推理2合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段论1辨明两个易误点(1)演绎
2、推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据2把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的1数列2，5，11，20，x，
3、47，中的x等于()A28B32C33 D27B解析 由523，1156，20119，则x2012，因此x32.2推理“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和B解析 由演绎推理三段论可知，是大前提，是小前提，是结论3. 观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析 左边的式子的通项是1，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1.答案 1b)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF，用类比的方法，推想出下面问题的结果在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形
4、的两腰AD和BC交于O点，设OAB，ODC的面积分别为S1，S2，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是()AS0BS0C D【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质故由EF类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的关系是，故选C.【答案】C解决类比推理问题的方法步骤(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似
5、的结论 通关练习1在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()ABC DD解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.2(2017西安模拟)设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体PABC的体积为V，则R等于()ABC DC解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面
6、为底面的4个三棱锥体积的和所以四面体的体积为V(S1S2S3S4)R，所以R，故选C.演绎推理学生用书P211典例引领数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.【证明】(1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，所以Sn14(n1)4Sn14an(n2)(大前提)又因为a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以对于任意正整数n，都有Sn14an.(结
7、论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值解 (1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知y，则1y1，f(1x)，所以1yf(1x)
8、，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.所以f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.故f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3., 学生用书P211)例析归纳推理中的创新问题设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1，2，3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则()ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【解析】在A1B1C1中，b1c1，b1c12a1，所以b1a1c1.在A2B2C
9、2中，a2a1，b2，c2，b2c22a1，所以c1b2a1c2b1.在A3B3C3中，a3a2a1，b3，c3，b3c32a1，所以a1b3c2，b2c3a1，所以c1b2c3a1b3c2b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cnbn2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cnbna1时AnBnCn的面积最大【答案】B(1)解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验(2)本题把归纳推理问题与数列及数列的性质巧妙地结合，体现了新课标下的交汇创新思想解决本题的关键有以下几点：
10、由条件an1an，确定三角形的一边为固定值；由条件可推出b1c1b2c2b3c32a1，进而得出AnBnCn的周长为定值；利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A8B6C4 D3B解析 利用图形进行求解因为反弹时反射角等于入射角，所以12.又因为tan12，所以tan22.又tan2，所以HC，所以DG.从此以后，点P的反射线必与EF或FG平行，由图可知，P与正方形
11、的边碰撞的次数为6., 学生用书P355(独立成册)1(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由112，1322，13532，可得到1352n1n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于()A类比推理、归纳推理B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理 D归纳推理、演绎推理A解析 (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由个别到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2(2017合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(
12、x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确C解析 因为f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确3观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A121 B123C231 D211B解析 法一：由ab1，a2b23，得ab1，代入后三个等式中符合，则a10b10(a5b5)22a5b5123.法二：令ananbn，则a11，a23，a34，a47，得an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123.4给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR
13、，则ab0ab”类比推出“a，cC，则ac0ac”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；“a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数为()A1 B2C3 D4B解析 类比结论正确的有.5(2017安徽江淮十校联考)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定
14、x2，则1()A BC DC解析 1x，即1x，即x2x10，解得x，故1，故选C.6已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第60个“整数对”是()A(7，5) B(5，7)C(2，10) D(10，2)B解析 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为1
15、2的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，因此第60个“整数对”是(5，7)7(2017枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为_135791113151719 21 23 25 272931 解析 前20行共有正奇数13539202400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.答案 8098(2017贵州省六校联考)在平面几何中：ABC的ACB内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E
16、，则得到类比的结论是_解析 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.答案 9已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 017(x)_解析 f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，f6(x)f5(x)cos xsin x，可知fn(x)是以4为周期的函数，因为2 01750441，所以f2 017(x)f1(x)sin xcos x.答案 sin xcos
17、 x10某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是_今天是周六今天是周四A车周三限行 C车周五限行解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四答案 11给出下面的数表序列：表1表
18、2表3113135 4 4812其中表n(n1，2，3，)有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解 表4为 13574812122032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列12观察下列各式：553 125，5615 625，5778 125，58390 625，591
19、 953 125，则52 016的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125C解析 553 125，5615 625，5778 125，58390 625，591 953 125，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m4k与5m(kN*，m5，6，7，8)的后四位数字相同，又2 01645028，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.13古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是
20、三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024C1 225 D1 378C解析 观察三角形数：1，3，6，10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.所以a1a2an(a1a2an1)(123n)，所以an123n，观察正方形数：1，4，9，16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.14(2016高考北京卷)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.8
21、21.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛B解析 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为18号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从18号里产生数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a，60，63，a1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，
22、与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛故选B.15如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，1)处标2，点(0，1)处标3，点(1，1)处标4，点(1，0)处标5，点(1，1)处标6，点(0，1)处标7.依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为_解析 因为点(1，0)处标112，点(2，1)处标932，点(3，2)处标2552，点(4，3)处标4972，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案 (1 009，1 008)16某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个
23、常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.