1、第二节简单几何体的表面积和体积课时训练【选题明细表】知识点、方法题号几何体的侧面积与表面积10几何体的体积1,2,3,5,6,9与球有关的面积、体积问题7,12综合问题4,8,11,13,14,15,16一、选择题1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(B)(A)(B)(C)1(D)解析:由三视图知:几何体右边是三棱锥,其底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1,其体积为V1=111=;左边为直三棱柱,其底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1,其体积为V2=111=.所以该几何体的体积为V=V1+V2=+=.故选B.2.若某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则
2、这个几何体的体积是(B)(A)2(B)(C)3(D)3解析:由题中三视图得直观图如图,即四棱锥高为,底面为梯形,面积为=3,所以四棱锥体积为3=.故选B.3.(2018浙江嘉兴模拟)某几何体的三视图如图(单位:m),则该几何体的体积是(A)(A) m3(B) m3(C)2 m3(D)4 m3解析:已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面的底边长为2 m,底面的高,即为三视图的宽1 m,故底面面积S=21=1 m2,棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=Sh=12= m3,故选A.4.(2018全国卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的
3、点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(B)(A)2(B)2(C)3(D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=16=4,OM=2,所以|MN|=2.故选B.5.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记录求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了圆锥底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL
4、2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因圆锥的体积公式V=R2h,又L=2R,故R=,所以V=()2h=L2h,由题设,所以,应选B.6.(2017全国卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:球体与圆柱体的截面图如图,故S柱底=()2=,V柱=S柱底h=.故选B.7.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(C
5、)(A)(B)2(C)(D)3解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a,则4a2+1=4,即a=,此时OE2=12+=,截面圆半径r2=22-=,故截面面积为.故选C.二、填空题8.有一根长为3 cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3 cm,AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=5(cm),故铁丝的最短长度为5 cm.答案:5
6、9.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.解析:由几何体的三视图知该几何体为四棱锥,高为1,底面为边长为的正方形,于是该几何体的体积为1=.答案:10.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.解析:如图,因为SA与底面成45角,所以SAO为等腰直角三角形.设OA=r,则SO=r,SA=SB=r.在SAB中,cosASB=,所以sinASB=,所以SSAB=SASBsinASB=(r)2=5,解得r=2,所以SA=r=4,即母线长l=4,所以S圆锥侧=rl=24=40.答案:4011.某几何体的
7、三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为cm3,表面积为cm2.解析:由三视图可知该几何体为半球的,球半径为1 cm,所以该几何体的体积为V=13=(cm3),表面积为S=412+12=(cm2).答案:12.如图,在四面体ABCD中,AB平面BCD,底面BCD是边长为6的等边三角形.若AB=4,则四面体ABCD的外接球的表面积为.解析:将此三棱锥补成正三棱柱,则球的中心和正三棱柱的中心重合,BCD的外接圆的半径为2,O到平面BCD的距离为2,从而球的半径R=4,球的表面积S=4R2=64.答案:6413.已知直三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=120,AB=AC=1,AA1=2,若
8、棱AA1在正视图的投影面内,且AB与投影面所成角为(3060),设正视图的面积为m,侧视图的面积为n,当变化时,mn的最大值是.解析:AB与投影面所成角时,平面ABC如图所示,由题意知BC=,CAE=60-,所以BD=ABsin ,DA=ABcos ,AE=ACcos(60-),ED=AE+DA=cos(60-)+cos ,故正视图的面积为m=EDAA1=2cos(60-)+cos ,因为3060,所以BDCE,侧视图的面积为n=BDAA1=2sin ,所以mn=4sin cos(60-)+cos =4sin (cos 60cos +sin sin 60+cos )=sin 2+2sin2+2
9、sin 2=3sin 2+-cos 2=2sin(2-30)+,因为3060,所以302-3090,sin(2-30)1,2sin(2-30)2,所以2mn3,故得mn的最大值为3.答案:3三、解答题14.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体ABCDA1B1C1D1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PA1=PD1= cm,A1D1=AD=2 cm,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+22+2()2=(22+4)(cm
10、2),体积V=23+()22=10(cm3).15.如图,在三棱柱ABC-ABC中,ABC为等边三角形,AA平面ABC,AB=3,AA=4,M为AA的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC的交点为N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC与NC的长.解:(1)该三棱柱的侧面展开图为边长分别为4和9的矩形,故对角线长为=.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开,如图,设PC=x,则MP2=MA2+(AC+x)2.因为MP=,MA=2,AC=3,所以x=2,即PC=2.又NCAM,故=,即=.所以NC=.16.如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD=CD=2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)求证:BC平面ACD;(2)求几何体DABC的体积.(1)证明:在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故ACBC.又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,所以BC平面ACD.(2)解:由(1)可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2,SACD=2,所以=SACDBC=22=.
