1、抛物线的标准方程基础过关练题组一抛物线的定义及其应用1.(2021江苏无锡第一中学高二上期中)在平面内,已知一动点M到直线l:x=-2与其到定点P(2,0)的距离相等,则点M的轨迹是()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线2.(2021江苏徐州铜山大许中学高二上调研测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点,交抛物线于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为()A.6B.7C.8D.103.(2021江苏南京人民中学高二上月考)设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则PF等于()A.4B.6C.8D.104.(2020江苏泰州中学高二
2、下期初检测)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-2,3),M在抛物线C上,若点N(1,2),则MN+MF的最小值为()A.2B.3C.4D.5题组二抛物线的标准方程和准线方程5.(2020江苏淮安高二上期末)准线方程为y=1的抛物线的标准方程为()A.x2=-4yB.y2=-4xC.x2=-2yD.x2=4y6.(2021江苏泰州中学高二上质量检测)若抛物线x2=ay的准线与椭圆x24+y2=1相切,则a=()A.-4或4B.4C.-8或8D.87.(2020江苏南通启东中学高二下期初检测)中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非
3、凡智慧.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2m时,水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为()A.26mB.46mC.42mD.12m8.(2020江苏常州溧阳高二上期末)以椭圆x24+y23=1的对称中心为顶点,椭圆的焦点为焦点的抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=4x或y2=-4xC.x2=4yD.y2=-4x或x2=4y9.(2021江苏镇江中学高二上期初检测)若双曲线的方程为x23-y22=1,则以双曲线右准线为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=1255xB.y2=-1255xC.x2=1255yD.x2=-1255y题组三直线与抛物线的位置关系10.已知直线l:y=x-1与
4、抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则AB=()A.5B.6C.7D.811.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点12.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=013.(2021江苏南京江浦高级中学高二上检测)过点(0,-3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则直线l的方程为.14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A
5、,B两点.(1)求弦AB的长;(2)求FAB的面积.能力提升练题组一抛物线的定义及其应用 1.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(1,y0)在抛物线C上,MF=5y04,则tanFAM=()A.25B.52C.54D.452.(2020天津耀华中学高二上期末,)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,过A,B作l的垂线,垂足分别为C,D.若AF=3BF,且三角形CDF的面积为3,则p的值为()A.233B.33C.62D.2633.(2021江苏扬州大学附属中学
6、高二上第一次月考,)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则FN=.4.(2021江苏南京人民中学高二上月考,)已知点A(-2,1),y2=-4x的焦点为F,P是y2=-4x上的点,则使PA+PF取得最小值的点P的坐标是.5.(2021江苏南京江宁东山外国语学校高二月考,)已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B,过B作l的垂线,垂足为M.若AMMF,则三角形AFM的面积S=.题组二抛物线的标准方程及其应用 6.(多选)(2021江苏南通海安高二上期中,)设抛物线y2=2px(p0)的
7、焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可能为()A.(0,-1)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,1)7.()设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,MF=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的标准方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x8.(2021江苏南通海安高二上期中,)已知点F(1,0),直线l:x=-1,动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.(1)试判断点P的轨迹C的形状,并写出其方程;(2)若曲线C与直
8、线m:y=x-1相交于A、B两点,求OAB的面积.题组三抛物线的综合应用 9.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若OAOB=12,则AOB面积的最小值为()A.6B.8C.10D.1210.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)如图,已知OAP和ABQ均为等边三角形,它们的边长分别为m,n,抛物线y2=2px(p0)恰好经过点P,Q,则mn=.11.()设抛物线y2=2x上两点A,B位于x轴的同侧,且A,B两点的横坐标之积为4,则直线AB经过的定点坐标是.12.(2021江苏泰州中学高二上质量检测,)已知双曲线C
9、的离心率为233,点(23,1)在双曲线上,且抛物线y2=2px(p0)的焦点F与双曲线的一个焦点重合.(1)求双曲线和抛物线的标准方程;(2)过焦点F作一条直线l交抛物线于A,B两点,当直线l的斜率为3时,求线段AB的长度.答案全解全析基础过关练1.A动点M到定点P(2,0)的距离与其到定直线l:x=-2的距离相等,所以点M的轨迹是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,故选A.2.C设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,由题意知,p=2,则AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=6+2=8.故选C.3.C因为抛物线方程为y2=12x,所以p=6,由抛物线的定义可得PF=
10、xP+p2=5+62=8.故选C.4.B由题可得l:x=-2.由抛物线的定义可知MF=xM+2,所以MN+MF=MN+xM+2xN+2=1+2=3.故选B.5.A因为准线方程为y=1,所以设抛物线方程为x2=-2py(p0),所以p2=1,所以p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.故选A.6.A易知抛物线x2=ay的准线方程为y=-a4,因为抛物线x2=ay的准线与椭圆x24+y2=1相切,所以-a4=1,所以a=4,故选A.7.答案B信息提取(1)抛物线型拱桥;(2)水面离拱顶2m时,水面宽8m.数学建模本题以中国古代的桥梁建筑为背景构建抛物线模型,以拱桥顶点为原点建立平面直角坐标系,
11、设出抛物线的标准方程,进而求解.解析由题意,以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),由题意知,抛物线经过点A(-4,-2)和点B(4,-2),代入抛物线方程,解得p=4,所以抛物线的标准方程为x2=-8y,水面下降1m,即y=-3,代入方程,解得x1=26,x2=-26,所以此时水面宽度d=2x1=46m.故选B.8.B椭圆x24+y23=1的对称中心为(0,0),焦点为(1,0),故满足条件的抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x,故选B.9.B由双曲线方程得a2=3,b2=2,则c=a2+b2=5,双曲线的右准线方程为x=a2c=35
12、=355,可知抛物线的准线方程为x=355,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0),则p2=355,2p=1255,则抛物线的标准方程是y2=-1255x,故选B.10.D由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,AB=x1+x2+2=8.11.C因为直线方程为y=kx-k=k(x-1),所以直线恒过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p0)的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.12.D因为抛物线的切线与
13、直线2x-y+4=0平行,所以可设切线方程为2x-y+m=0(m4),联立2x-y+m=0,y=x2,得x2-2x-m=0,由=4+4m=0,解得m=-1,所以切线方程为2x-y-1=0,故选D.13.答案x=0或y=-3或x+3y+9=0解析当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-3,与y2=4x联立,可得k2x2-(6k+4)x+9=0,当k=0时,直线l的方程为y=-3,满足题意;当k0时,由=-(6k+4)2-36k2=0,解得k=-13,此时直线l的方程为x+3y+9=0.综上,直线l的方程为x=0或y=-3或x+3y+
14、9=0.14.解析(1)联立y=x-2,y2=4x,消去y并整理得x2-8x+4=0,其中=64-44=480,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=4,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=43,所以AB=1+12|x1-x2|=243=46.(2)由题意得点F(1,0),点F到直线l的距离d=|1-2|2=22,所以SFAB=12ABd=124622=23.能力提升练1.D如图,过M向抛物线的准线引垂线,垂足为N,则MN=y0+p2=5y04,故y0=2p.又M(1,y0)在抛物线上,故y0=12p,于是2p=12p,解得p=12(负值舍去),MN=
15、5y04=54,tanFAM=tanAMN=ANMN=45.故选D.2.C如图所示,过点B作BMAC于点M,设BD=x,则AC=3x,从而p=32x,AM=2x,AB=4x,因此,BM=23x,SCDF=12CDp=12BMp=1223xp=122323p2=3,p2=32,解得p=62(负值舍去),故选C.3.答案6解析如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线为l,l与x轴交于点F,作MBl于点B,NAl于点A,由抛物线的方程可得准线l的方程为x=-2,则AN=2,FF=4,在直角梯形ANFF中,中位线BM=AN+FF2=3,由抛物线的定义得MF=MB=3,所以FN=2FM=6.4.
16、答案-14,1解析如图,过P作 PKl(l为抛物线的准线)于K,则PF=PK,PA+PF=PA+PK.所以当点P的纵坐标与点A的纵坐标相同时,PA+PK最小,此时点P的纵坐标为 1,把y=1代入 y2=-4x,得 x=-14,即当点P的坐标为-14,1时,PA+PF取得最小值.5.答案324解析如图所示.由抛物线的定义可知BF=BM,Fp2,0,又AMMF,点B为线段AF的中点,Bp4,1,把点Bp4,1代入抛物线方程得1=2pp4,解得p=2(负值舍去),B24,1,SAFM=2SBFM=212124+22=324.6.BC设M(0,y0),易知Fp2,0,则Bp4,y02,如图所示.则BB
17、1=p4+p2=324,解得p=2,抛物线的标准方程为y2=22x,且B24,y02,又B在抛物线上,14y02=2224,因此y02=4,解得y0=2.所以点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.7.C因为抛物线C的方程为y2=2px(p0),所以焦点Fp2,0,设M(x,y),由抛物线的定义,知MF=x+p2=5,解得x=5-p2.因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为52,圆的半径也为52,故该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M5-p2,4,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的标
18、准方程为y2=4x或y2=16x.故选C.8.解析(1)点P到点F的距离等于它到直线l的距离,点P的轨迹C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立y2=4x,y=x-1,得 x2-6x+1=0,x1+x2=6,直线m经过抛物线C的焦点F(1,0),AB=x1+x2+p=6+2=8,点O到直线m的距离d=|-1|2=22,SOAB=12ABd=12822=22.9.B设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,根据根与
19、系数的关系得y1y2=-m,y1+y2=t.OAOB=12,x1x2+y1y2=12,又x1x2=y12y22,(y1y2)2+y1y2-12=0,则m2-m-12=0,解得m=4或m=-3,点A,B位于x轴的两侧,m=4.故直线AB所过的定点坐标是(4,0),故AOB的面积S=124|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=2t2+168,当t=0时,直线AB垂直于x轴,AOB的面积取得最小值,为8,故选B.10.答案12解析由已知得A(m,0),B(m+n,0),则Pm2,-3m2,Qm+n2,3n2,因为抛物线y2=2px(p0)恰好经过点P,Q,所以-3m22=2pm2,3n22
20、=2pm+n2,两式相除可得m2n2=m2m+n,设mn=t(t0),则t2=t2t+1,解得t=12(负值舍去),即mn=12.11.答案(-2,0)解析可设A,B同在第一象限,设直线AB的方程为y=kx+b(k0,b0),代入抛物线y2=2x,可得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,设A,B的横坐标分别为x1,x2,可得x1x2=b2k2=4,即b=2k或b=-2k.若b=2k,则y=kx+2k=k(x+2),则直线AB过定点(-2,0);若b=-2k,则y=kx-2k=k(x-2),则直线AB过定点(2,0),此时直线与抛物线的两个交点在x轴的异侧,故舍去.综上,直线AB经过的定点坐标
21、是(-2,0).12.解析(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题设知ca=233,所以ba=33,又点(23,1)在双曲线上,所以12a2-1b2=1.由解得a2=9,b2=3,故双曲线的标准方程为x29-y23=1.因为c2=a2+b2=12,所以c=23,所以抛物线的焦点为F(23,0),即p2=23p=43,所以抛物线的标准方程为y2=83x.(2)设直线l:y=3(x-23)交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=3(x-23),y2=83x,得3x2-203x+36=0,故x1+x2=2033,由抛物线定义知AF=x1+p2,BF=x2+p2,所以AB=x1+x2+p=2033+43=3233.
