1、专题5等比数列1等比数列(1)概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比(常用字母“q”表示)(2)递推关系：q.2等比数列的通项公式ana1qn1.3等比数列的主要性质(1)anamqnm(m，nN*)；(2)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；(3)等比数列an中，knN*，且kn是等差数列，则akn也是等比数列4等比数列的前n项和公式当q1时，Sn；当q1时，Snna1.5等比数列与指数函数的关系等比数列an的通项公式ana1qn1，它的图象是分布在曲线yqx(q0)上的一些孤立的点当
2、a10，q1时，等比数列an是递增数列；当a10,0q0,0q1时，等比数列an是递减数列；当a11时，等比数列an是递减数列例1已知等比数列an中：(1)a1，an，q，求n；(2)S3，S6，求an.变式1等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1等于()A. B C. D例2(1)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_.(2)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10等于()A4 B5 C6 D7变式2(1)正项等比数列an中，a1a3a3a52a2a436，则a2a4等于()A6 B10 C20 D15(2)等比数列an中，有a
3、3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9等于()A2 B4 C8 D16例3已知数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*有anSnn，设bnan1.求证：数列bn是等比数列变式3已知数列an的前n项和Sna(bn1)(a0，b0且b1)，证明：an是等比数列A级1等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10 C11 D122设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于()A11 B5 C8 D113设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于()A31 B32 C63 D644已知an是首项为1的等比数
4、列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5 C. D.5等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.6设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.7已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_B级8已知an为等比数列，下面结论中正确的是()Aa1a32a2Baa2aC若a1a3，则a1a2D若a3a1，则a4a29已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2 C3 D310在等比数列an中，已知S3013S
5、10，S10S30140，则S20等于()A90 B70 C40 D3011设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q_.12在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn_.13已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a22()，a3a4a564()(1)求an的通项公式；(2)设bn(an)2，求数列bn的前n项和Tn.详解答案典型例题例1解(1)由ana1qn1得()n1，即()n1()3，得n4.(2)S62S3，故q1，由，得1q39，解得q2，将q2代入，得a1，故ana1qn12n2.变式1C设等比数列an的公
6、比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.例2(1)解析利用等比数列的性质求解数列an为等比数列，a2a4a，a1a5a.a1aa5a.(2)B利用等比数列的性质和通项公式求解a3a1116，a16.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q342325，log2a105.故选B.变式2(1)A(2)Ca3a11a4a7，a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.例3证明易求a1，由已知得，anSnnan1Sn1n1(n2)两式作差，得anan1(n2)于是bn1an11an(an1)bn(n1)，又b1a
7、110，故数列bn是等比数列变式3证明a1S1a(b1)；n2时，anSnSn1a(bn1)a(bn11)abn1(b1)a1a(b1)也适合上式，故anabn1(b1)，b，所以an是等比数列强化提高1C在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5aq10q10.又amqm1，m110，m11.2D由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，则11.3C在等比数列an中，S2，S4S2，S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得S663.4C若q1，则由9S3S6得93a16a1，则a10，不满足题意，故q1.由9S3S6得9，解得q
8、2.故ana1qn12n1，()n1.所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5.52解析根据题意得q2.61121解析由解得a11，a23，当n2时，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是以a11为首项，以q3为公比的等比数列S5121.72n1解析由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.8B设an的首项为a1，公比为q，则a2a1q，a3a1q2.a1a3a1(1q2)，又1q22q，当a10时，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2；当a10，aa2a.故B正确若a1a3，则q21.q1.当q1时，a1a2；当q1时，a1a2.故C不正确D项中，若q0，则a3qa1q，即a4a2；若q0，则a3qa1q，此时a40，q.122n解析由已知数列an的前三项分别为2,2q,2q2.又(2q1)23(2q21)，整理得2q24q20，解得q1，Sn2n.13解(1)设等比数列an的公比为q，则ana1qn1，由已知有化简得又a10，故q2，a11.所以an2n1.(2)由(1)知bn(an)2a24n12.因此Tn(144n1)(1)2n2n(4n41n)2n1.
