1、第五节椭圆考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质一、教材概念结论性质重现1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若ac，则集合P为椭圆(2)若ac，则集合P为线段F1F2(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B
2、1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0，椭圆的焦点在y轴上0mn(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个方程，再结合b2a2c2就可求得e(0eb0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆上不与M，N重合的点，则kPMkPN二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)
3、方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()2若F1(3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是()A1B1C1D1或1A解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为13已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(，0)B(0，)C(，0)或(，0)D(0，)或(，0)B解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，即m4，所以椭圆x21即x21的焦点坐标为(0，
4、)故选B4若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()Ay21B1Cy21或1D以上答案都不对C解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，所以a25，所求椭圆的标准方程为y21当焦点在y轴上时，b2，c1，所以a25，所求椭圆标准方程为1 5设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A BC2 D1D解析：由题意可知，|PF2|2c，|PF1|2c因为|PF1|PF2|2a，所以2c2c2a，解得1考点1椭圆的定义基础性1圆A的半径为4，圆心为A
5、(1,0)，B(1,0)是圆A内一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与半径AP相交于点Q当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为()A1 B x2y216C1 D(x1)2y216C解析：如图，直线l为线段BP的垂直平分线，所以连接BQ，由线段垂直平分线的性质得：BQPQ，而半径APAQPQ，且A，B两点为定点，所以AQBQ4AB2，所以由椭圆定义得点Q轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆，且2a4,2c2，所以a2，c1，所以b，所以椭圆方程为1故选C2(2021大同高三调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中点为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交C于A，B两点，
6、且ABF2的周长为16，那么C的方程为()A1 B1C1 D1D解析：设椭圆的方程为1(ab0)，由e21，得a22b2根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a，所以4a16，即a4，a216，b28，则椭圆的标准方程为13已知F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点若AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1B解析：如图所示，因为ABF2是边长为4的等边三角形，所以|AF2|4，|AF1|AB|2，所以2a|AF1|AF2|6，所以a3又因为|F1F2|2c2，所以c，则b2a2c26，故椭圆C的方程为1故选
7、B椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题考点2椭圆的标准方程综合性(1)“3m4”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B解析：因为方程1表示椭圆的充要条件是解得3mb0)因为c216，且c2a2b2，所以a2b216又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1考点3椭圆的几何性质应用性考向1求离心率(或范围)(1)设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的
8、左、右焦点，P为直线x上一点若F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为()A B C DB解析：设直线x交x轴于点M，因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，PF2M60，2c，在RtPF2M中，PMF290，MPF230，所以2因为P为直线x上一点，所以22c，即a22c2，所以e(2)(2022青岛模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是()A B C DC解析：如图所示，因为线段PF1的中垂线经过点F2，所以PF2F1F22c，即椭圆上存在一点P，使得PF22c所以2c
9、ac所以e求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解考向2与椭圆有关的最值问题已知F(2,0)为椭圆1(ab0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6若A(2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|MA|的最大值为_8解析：设椭圆的左焦点为F，由椭圆的右焦点为F(2,0)，得c2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即6，则3，解得a4，所以|MF|MA|8|MF|MA|8|MA|MF|，当M，A，F三点共线时，|MA|MF|取得最大值，(|MA|MF|)max|AF|，所以|
10、MF|MA|的最大值为8椭圆的范围与最值问题(1)在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|a，|y|b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值(2)椭圆上点到焦点的最大距离为ac，最小距离为ac；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值1已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左右焦点，在椭圆E上存在点P，满足且F2到直线PF1的距离等于b，则椭圆E的离心率为()A B C DB解析：由已知得2c，根据椭圆的定义可得2a2a2c又F2到直线PF1的距离等于b，即b由等腰三角形三线合一的性质可得：F2HPF1，可列方程：(ac)
11、2b2(2c)2a2ac2c20(a2c)(ac)0a2c0e故选B2设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11 C8,12 D10,12C解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知|PM|PN|(|PM|MF1|)(|PN|NF2|)2，则其最小值为|PF1|PF2|28，最大值为|PF1|PF2|212设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2若椭圆上存在点P，使F1PF290，求离心率e的取值范围四字程序读想算思在椭圆上存在点P，使得F
12、1PF2为直角1在焦点三角形中可利用哪些性质或结论2离心率的表达式有哪些构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解转化与化归，函数与方程求椭圆离心率e的取值范围1在焦点三角形中要注意应用：椭圆的定义勾股定理或余弦定理三角形的面积公式2e或ex21椭圆的有界性2一元二次方程有实根的条件思路参考：利用曲线范围解：设P(x，y)，又知F1(c,0)，F2(c,0)，则(xc，y)，(xc，y)由F1PF290，知，则0，即(xc)(xc)y20，得x2y2c2将这个方程与椭圆方程1联立，消去y，可得x2由椭圆的取值范围及F1PF290，知0x2a2，即0a2可得c2b2，即c2a2
13、c2且c2a2，从而得e，且e1，所以e思路参考：利用二次方程有实根解：由椭圆定义知|PF1|PF2|2a|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2又由F1PF290，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，可得|PF1|PF2|2(a2c2)因此，|PF1|与|PF2|是方程x22ax2(a2c2)0的两个实根，所以4a28(a2c2)0e2e所以e思路参考：利用三角函数有界性解：记PF1F2，PF2F1，由正弦定理有，即|F1F2|又|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，则有e由0|90，知045，所以cos 1，从而可得e1思路参考：利用基本不等式解：由椭圆定义，有2
14、a|PF1|PF2|，平方后得4a2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|2(|PF1|2|PF2|2)2|F1F2|28c2，当且仅当|PF1|PF2|时取等号，得，所以e思路参考：巧用图形的几何特性解：由F1PF290，知点P在以|F1F2|2c为直径的圆上又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有cbc2b2a2c2，由此可得e思路参考：双焦点最大张角解：设B1为上顶点，则双焦点最大张角为F1B1F2由已知F1B1F290，所以OB1F245，tan OB1F21，即1，c2b2，c2a2c2，得，所以有e1本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式，利用
15、函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决2基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养3基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性设A，B是椭圆C：1长轴的两个顶点，若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)A解析：当0m0，A(，0)，B(，0)则SMABy0|MA|MB|sin|MA|MB|，得|MA|MB|4y0(x0，y0)，(x0，y0)，故(x0)(x0)y|cos ，得x3y2y0因为M(x0，y0)在椭圆上，所以1，得x3y，故yy2y0，得y0，解得03时，如图2，图2设M(x0，y0)，不妨设x00，则A(0，)，B(0，)，SMABx0|MA|MB|sin|MA|MB|，|MA|MB|x0，(x0，y0)，(x0，y0)，所以x(y0)(y0)|cos ，解得xymx0因为M(x0，y0)在椭圆上，所以1，得ymx，故xxx0，解得x0，解得m9综上m9或0m1故选A
