1、全章素养整合构网络提素养链高考单元综合检测(一)类型一 应用正、余弦定理解三角形题型特点 这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理入手解决，是高考的热点，选择、填空、解答均可能出现方法归纳 已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由 ABC180求出角 A；由正弦定理求出 b 与 c；SABC12acsin B 在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边及一角如a、b、A 或 a、b、C正弦或余弦定理两边及夹角：先由余弦定理求出第三边，由正弦定理求出最小角，进而求其他元素两边及一边对角，先由正弦定理求另一边对角，并判定解的情况，进而求其他元素也可
2、以由余弦定理求第三边；如由 a2b2c22bccos A求 c 边.三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角 A，B，再利用 ABC180求出角 C，SABC12absin C 在有解时只有一解例 1 在ABC 中，B45，AC 10，cos C2 55.(1)求 BC 边的长；(2)求 AB 边上的中线 CD 的长解析(1)由 cos C2 55，得 sin C 55，sin Asin(18045C)sin(135C)22(cos Csin C)3 1010.由正弦定理，得 BC ACsin Bsin A 10223 1010 3 2.(2)由正弦定理，得 AB ACsin Bsin C
3、1022 55 2，BD12AB1.由余弦定理，得 CD BD2BC22BDBCcos B118213 2 22 13.跟踪训练 1.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 cos B45，b2.(1)当 A6时，求 a 的值；(2)当ABC 的面积为 3 时，求 ac 的值解析：(1)cos B45，0B，sin B35.由正弦定理asin Absin B，得 absin Asin B 2123553.(2)SABC12acsin B12ac353，ac10.由余弦定理 b2a2c22accos B，得4a2c285aca2c216，a2c220，(ac)22ac20
4、，(ac)240，ac2 10.类型二 判断三角形的形状题型特点 高考中多以选择题的形式出现，主要考查正、余弦定理的应用方法归纳 根据所给条件确定三角形的形状的常见方法(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)b2c2a20A 为锐角，b2c2a20A 为直角，b2c2a20A 为钝角例 2 已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 ac2b 且 2cos 2B8cos B50，求 B 的大小，并判断ABC 的形状解析 2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50，4cos2B8c
5、os B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得 cos B12或 cos B32(舍去)B(0，)，B3.ac2b，cos Ba2c2b22aca2c2ac222ac12.化简得 a2c22ac0，解得 ac.又 ac2b，abc.ABC 是等边三角形跟踪训练 2.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形D不确定解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，即 sin(BC)sin2A，从而 sin(BC)sin
6、Asin2A，解得 sin A1，A2，故选 B.答案：B3在ABC 中，lg(sin Asin C)2lgsin Blg(sin Csin A)，则该三角形的形状是_解析：由题意得(sin Asin C)(sin Csin A)sin2B，即sin2Asin2Csin2B.由正弦定理得a2c2b2，即 a2b2c2，所以ABC 是直角三角形答案：直角三角形类型三 正、余弦定理的实际应用题型特点 正、余弦定理在生活中的应用有以下几种考查类型：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等高考中有时会以选择、填空题的形式出现 方法归纳 解有关正、余弦定理实际应用的注意点(1)要注意仰角
7、、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决例 3 如图，一辆汽车从 A 市出发沿海岸一条笔直公路以100 km/h 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在 A 市南偏东方向距 A 市 500 km 且与海岸距离为 300 km 的海上 B 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB 所成的角解析(1)如图所示，设快艇以 v km/h 的速度从 B 处出发，沿 BC 方向行驶
8、，t h 后与汽车在 C 处相遇，在ABC 中，AB500 km，AC100t km，BCvt km，BD 为 AC 边上的高，BD300 km.设BAC，则 sin 35，cos 45.由余弦定理得 BC2AC2AB22ABACcos，v2t2(100t)250022500100t45，整理得 v2250 000t280 000t10 000250 0001t2 8251t 4252 10 00010 0001625250 000(1t 425)23 600.当1t 425，即 t254 时，v2min3 600，vmin60.即快艇至少以 60 km/h 的速度行驶才能把文件送到司机手中(
9、2)当 v60 km/h 时，在ABC 中，AB500 km，AC100254 625(km)，BC60254 375(km)，由余弦定理得 cosABCAB2BC2AC22ABBC0，ABC90，故快艇应以垂直 AB 的方向向北偏东行驶跟踪训练 4.如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解析：由题意知 AB5(3 3)海里，DBA90
10、6030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB 中，由正弦定理得BDsinDABABsinADB，BDABsinDABsinADB 53 3sin 45sin 10553 3sin 45sin 45 cos 60cos 45sin 6010 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3海里，在DBC 中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210 320 312900，CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)即救援船到达 D 点需要 1 小时1(2018高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
11、a，b，c.若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2 B.3C.4D.6解析：根据余弦定理得 a2b2c22abcos C，因为 SABCa2b2c24，所以 SABC2abcos C4，又 SABC12absin C，所以 tan C1，因为 C(0，)，所以 C4.故选 C.答案：C2(2017高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.解析：由正弦定理可得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B，所以 cos B12，又因为 0B，所以 B3.答案：33(
12、2018高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC 的面积为_解析：由已知条件及正弦定理可得 2sin Bsin C4sin Asin Bsin C，易知 sin Bsin C0，sin A12，又 b2c2a28，cos Ab2c2a22bc 4bc，cos A0，cos A 32，即 4bc 32，bc8 33，ABC 的面积 S12bcsin A128 33 122 33.答案：2 334(2017高考全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 2，求 BC.解析：(1)在ABD 中，由正弦定理得BDsinAABsinADB.由题设知，5sin 452sinADB，所以 sinADB 25.由题设知，ADB90，所以 cosADB1 225 235.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 25.在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC258252 2 25 25.所以 BC5.单元综合检测(一)
