1、第四节 双曲线及其性质知识点一双曲线的定义及方程1.双曲线的定义双曲线的两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|2c，对双曲线上任意一点M都有|MF1|MF2|2a2c，其轨迹.两条射线不存在2.双曲线的方程求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线方程双曲线的定义两个易错点：2a2c；差的绝对值.(1)在判断点的轨迹问题中，易忽略条件2a2c而致错已知两定点F1(3，0)，F
2、2(3，0)，P为平面内一动点，若|PF1|PF2|6，则P点的轨迹为_.解析|PF1|PF2|6|F1F2|，所以P点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(含端点)答案 以F1，F2为端点的两条射线(含端点)(2)到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值，那么其轨迹是双曲线的一支已知平面内两定点A(5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|MB|6，则点M的轨迹方程为_.答案24知识点二双曲线的几何性质1.双曲线的几何性质xa或xaya或ya坐标原点(1，)2a2.等轴双曲线yx两个易错点：双曲线上点到焦点距离；直线与双曲线位置.解析 a8，b6，c10.所以|PF1|PF2|16，又|PF
3、1|17，所以|PF2|1或|PF2|33，又ca21，所以|PF2|33.答案33(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点若直线ykx1与双曲线x2y21只有一个公共点则k的值是_.双曲线标准方程求解方略双曲线标准方程的求解步骤：双曲线的几何性质突破方法求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法点评求双曲线离心率或其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.曲线与方程问题求解策略方法点评求轨迹方程的常用方法(1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了.(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.(3)相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
