1、专题检测（二十一） 选择题第12题、填空题第16题专练一、选择题1设a1，a2，a3，anR，n3.若p：a1，a2，a3，an成等比数列；q：(aaa)(aaa)(a1a2a2a3an1an)2，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选A(特殊数列)取大家最熟悉的等比数列an2n，代入q命题(不妨取n3)满足，再取an3n代入q命题(不妨取n3)也满足，反之取a1a2a3an0时，满足q命题，但不满足p命题，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件2(2017全国卷)已知函数f(x
2、)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()ABCD1解析：选C法一：由f(x)x22xa(ex1ex1)，得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，所以f(2x)f(x)，即x1为f(x)图象的对称轴由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a.法二：由f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，
3、则f(x)的零点不唯一综上所述，a.3已知函数f(x)在(1，)上单调，且函数yf(x2)的图象关于直线x1对称，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则数列an的前100项的和为()A200 B100C0 D50解析：选B因为函数yf(x2)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的图象关于直线x1对称又函数f(x)在(1，)上单调，数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100.4(2017贵州适应性考试)已知点A是抛物线x24y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|
4、m|PF|，当m取最大值时，|PA|的值为()A1 BC.D2解析：选D设P(x，y)，由抛物线的定义知|PF|y1，|PA|，所以m，平方得m2，又x24y，当y0时，m1，当y0时，m211，由基本不等式可知y2，当且仅当y1时取等号，此时m取得最大值，故|PA|2.5对任意实数a，b，c，d，定义已知函数f(x)，直线l：kxy32k0，若直线l与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围是()A. B.C.D(1,1)解析：选A由题意知，f(x)直线l：yk(x2)3过定点A(2，3)，画出函数f(x)的图象，如图所示，其中f(x)(x2或x2)的图象为双曲线的上半部分，f(x)
5、 (2x2)的图象为椭圆的上半部分，B(2,0)，设直线AD与椭圆相切，D为切点由图可知，当kABk1或1kkAD时，直线l与f(x)的图象有两个交点kAB，将ykAD(x2)3与y (2x0时，函数f(x)的图象恒在直线ykx的下方，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由题意，当x0时，f(x)kx恒成立由f()0.又f(x)，由切线的几何意义知，要使f(x)kx恒成立，必有kf(0).要证k时不等式恒成立，只需证g(x)x0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，g(x)g(0)0，不等式成立综上，k.8设D，E分别为线段AB，AC的中点，且0，记为与的夹角，则下述判断正
6、确的是()Acos 的最小值为Bcos 的最小值为Csin的最小值为Dsin的最小值为解析：选D依题意得()()(2)，()()(2)由0，得(2)(2)0，即222250，整理得，|2|2|cos 2|，所以cos ，sin2cos 22cos21221，所以sin2的最小值是.9(2017石家庄质检)在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()解析：选A如图，作PQBC于Q，作QRBD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQAB，QRC
7、D.设ABBDCD1，则，即PQ，又，所以QR，所以PR ，所以f(x) ，结合图象知选A.10过坐标原点O作单位圆x2y21的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得ab(a，bR)，则以下说法正确的是()A点P(a，b)一定在单位圆内B点P(a，b)一定在单位圆上C点P(a，b)一定在单位圆外D当且仅当ab0时，点P(a，b)在单位圆上解析：选B使用特殊值法求解设A(1,0)，B(0，1)，则ab(a，b)C在圆上，a2b21，点P(a，b)在单位圆上，故选B.二、填空题1已知函数f(x)当1a2时，关于x的方程ff(x)a实数解的个数为_解析：当1a2时，作出f(x)的图
8、象如图所示，令uf(x)，则f(u)a，由f(x)的图象可知，若u满足u0，解得u1或2eue2，显然，当x0，u0,2eue2时，f(x)u也有2个解因此ff(x)a有4个实数解答案：42(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_解析：(特殊图形)如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在BCE中，BC75，E30，BC2，由正弦定理可得，即，解得BE，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，BBFC75，FCB30，由正弦定理知，即，解得BF，所以AB的取值范围是(，)答案：(，)3设0mB
9、D，即2xx3，x1，ABADBD，即2xx3，x3，所以x(1,3)在ABD中，由余弦定理得9(2x)2x222xxcos A，即cos A，SABC2SABD22xxsin A2x2 ，令tx2，则t(1,9)，SABC ，当t5，即x时，SABC有最大值6.答案：67对于函数f(x)与g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_解析：易知函数f(x)为增函数，且f(2)e22230，所以函数f(x)ex2x3只有一个零点x2，则取
10、2，由|2|1，知13.由f(x)与g(x)互为“零点密切函数”知函数g(x)x2axx4在区间1,3内有零点，即方程x2axx40在1,3内有解，所以ax1，而函数yx1在1,2上单调递减，在2,3上单调递增，所以当x2时，a取最小值3，且当x1时，a4，当x3时，a，所以amax4，所以实数a的取值范围是3,4答案：3,48对于数列an，定义an为数列an的一阶差分数列，其中anan1an(nN*)对正整数k，规定kan为数列an的k阶差分数列，其中kank1an1k1an(k1an)若数列2an的各项均为2，且满足a11a2 0150，则a1的值为_解析：因为数列2an的各项均为2，即a
11、n1an2，所以ana12n2，即an1ana12n2，所以ana1(n1)a1(0242n4)(n1)a1(n1)(n2)(n2)，所以即解得a120 140.答案：20 1409已知圆O：x2y21 和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2) 和常数 满足：对圆 O上任意一点 M，都有|MB|MA|，则b_ ；_ .解析：法一：(三角换元)在圆O上任意取一点M(cos ，sin )，则由|MB|MA|可得(cos b)2sin22(cos 2)2sin2，整理得1b252(2b42)cos 0，即解得法二：(特殊点)既然对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，使得与b为常数，那么取M(1
12、,0)与M(0,1)代入|MB|MA|，得解得答案：10(2017江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lg x0的解的个数是_解析：由于f(x)0,1)，因此只需考虑1x10的情况，在此范围内，当xQ且xZ时，设x，q，pN*，p2且p，q互质若lg xQ，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nN*，m2且m，n互质，因此10，则10nm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg xQ，故lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且x1处(lg x)1，则在x1附近仅有一个交点，因此方程f(x)lg x0的解的个数为8.答案：8
