1、专题7一元二次不等式及其解法1三个“二次”之间的联系一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0)与相应的一元二次函数yax2bxc(a0)、一元二次方程ax2bxc0(a0)之间的关系：2.解一元二次不等式的步骤(1)变形(二次项系数化为正数，另一边为零)；(2)判号(确定判别式b24ac的符号)；(3)求根(解相应的一元二次方程)；(4)画图(画出相应二次函数的图象)；(5)定解集(根据图象写出不等式的解集)例1解关于x的不等式x2(aa2)xa30.变式1解关于x的不等式(x2)(ax2)0.例2已知不等式(m2)x22(m2)x40的解集为R，求m的取值范围变式2若不等式mx22x1m
2、0的解集为x|2x0的解集变式3已知关于x的不等式x2mxn0的解集是x|5x1，求实数m，n的值A级1不等式2x2x10的解集是()A.B(1，)C(，1)(2，)D.(1，)2已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x1，则f(x)0的解集为()Ax|x1Bx|1x1Cx|x1或x1D以上都不对3若集合Ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a44若0t0的解集是()A. B.C. D.5已知x1是不等式k2x26kx80的解，则k的取值范围是_6函数y的定义域为R，则k的取值范围是_7用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600
3、 m2的矩形吗？B级8不等式2的解集是()A3， B，3C，1)(1,3 D，1)(1,39如果方程x2(m1)xm220的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是()A(，) B(2,0)C(2,1) D(0,1)10对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()A1x3 Bx3C1x2 Dx211关于x的不等式1对一切实数x恒成立，则k的取值范围是_12若关于x的不等式(2x1)2ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是_13已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0变形为(xa)(xa2)
4、0.a2aa(a1)当a1时，aa2，解集为x|xa2当0a1时，a2a，解集为x|xa当a0或1时，解集为x|xR且xa综上知，当a1时，不等式的解集为x|xa2；当0a1时，不等式的解集为x|xa；当a0或1时，不等式的解集为x|xR且xa变式1解不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论(1)当a0时，原不等式化为x20，解集为x|x2；(2)当a，原不等式化为(x2)(x)0，解集为x|x2；(3)当0a1时，由于20，解集为x|x；(4)当a1时，原不等式化为(x2)20，解集为x|x2；(5)当a1时，由于2，原不等式化为(x2)(x)0，解集为x|x2综上所述，原不等式的解集为
5、：当a0时，解集为x|x2；当a0时，解集为x|x2；当0a1时，解集为x|x；当a1时，解集为x|x2；当a1时，解集为x|x2例2解m2时，不等式40恒成立，故m2适合题意；m2时，y(m2)x22(m2)x4为二次函数，二次函数的值恒大于零，即(m2)x22(m2)x40的解集为R.，即，解得：.m的取值范围为(2,6)综上，m的取值范围为2,6)变式2解已知不等式可化为(x21)m(12x)0.设f(m)(x21)m(12x)，这是一个关于m的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f(m)0在2m2时恒成立，其等价条件是：，即解得x.所以，实数x的取值范围是.例3解由题意知，2,3是
6、方程ax2bxc0的两根，且a0得：6ax25axa0(a0)即6x25x10，所求不等式的解集为x|x0得(2x1)(x1)0，解得x1或x0时，相应二次方程中的a24a0，得a|0a4，综上得a|0a4，故选D.4D0t1，t.(tx)(x)0(xt)(x)0tx0恒成立k0适合题意；k0时，有0k4.故k的取值范围是k|0k47解设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x) m，0x600，即x250x6000.解得20x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形8D2所以x，1)(1,39C10.B11.(3，)12.解析原不等式可化为(4a)x24x10，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以即0a4，故由得x，又，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以34，解得a.139解析通过值域求a，b的关系是关键由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x.，得26，c9.