1、第2课时 对数函数的性质及应用互动探究关键能力探究点一 对数型函数的单调性精讲精练例 （1）已知log0.72xlog0.7(x-1) ，求x 的取值范围；（2）求函数y=log12(1-x2) 的单调递增区间.答案：（1） 函数y=log0.72x 在(0,+) 上为减函数， 由log0.72x0,x-10,2xx-1,解得x1 ，x 的取值范围为(1,+) .（2）要使函数有意义，则1-x20 ，解得-1x0 ，且a0 ）的单调区间的求法：（1）先求g(x)0 的解集（也就是函数f(x) 的定义域）.（2）当a1 时，在g(x)0 的前提下，g(x) 的单调增区间是f(x) 的单调增区间，
2、g(x) 的单调减区间是f(x) 的单调减区间.（3）当0a1 时，在g(x)0 的前提下，g(x) 的单调增区间是f(x) 的单调减区间，g(x) 的单调减区间是f(x) 的单调增区间.迁移应用 1.解下列不等式：（1）log17xlog17(4-x) ；（2）loga(2x-5)loga(x-1) .答案：（1）由题意可得x0,4-x0,x4-x,解得0x1 时，原不等式等价于2x-50,x-10,2x-5x-1,解得x4 ；当0a0,x-10,2x-5x-1,解得52x1 时，原不等式的解集为x|x4 ；当0a1 时，原不等式的解集为x52xmlog4x 对任意x4,16 恒成立，求m
3、的取值范围.答案：（1）f(x)=(log2x-2)(log4x-12) ，令t=log4x ，当x1,4 时，t0,1 ，此时y=f(x)=(2t-2)(t-12)=2t2-3t+1=2(t-34)2-18 ，易知当t=34 时，y 取得最小值-18 ，当t=0 时，y 取得最大值1， 该函数的值域为-18,1 .（2）令k=log4x ，k1,2 ，f(x)mlog4x 对任意x4,16 恒成立，即2k2-3k+1mk 对任意k1,2 恒成立，m2k+1k-3 对任意k1,2 恒成立，令g(k)=2k+1k-3 ，k1,2 ，易知g(k) 在1,2 上单调递增，g(k)min=g(1)=0
4、 ，m0 时，f(x)=log12(x+7) .（1）求f(1) ，f(-1) 的值；（2）求函数f(x) 的表达式；（3）若f(a-1)-f(3-a)0 ，求实数a 的取值范围.答案：（1）f(1)f(1)=log128=-3 ，f(-1)=-f=3 .（2）因为f(x) 在R 上为奇函数，所以f(0)=0 ，令x0 ，所以f(x)=-f(-x)=-log12(-x+7) ，所以f(x)=log12(x+7),x0,0,x=0,-log12(-x+7),x0.（3）当x(0,+) 时，f(x)=log12(x+7) ，令u=x+7 ，则y=log12u .由于u=x+7 是增函数，y=log
5、12u 是减函数，则y=log12(x+7) 在(0,+) 上是减函数，因为f(x) 是奇函数，且f(0)=0 ，所以y=f(x) 是R 上的减函数.由f(a-1)3-a ，解得a2 ，即实数a 的取值范围是(2,+) .解题感悟对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.迁移应用1.已知函数f(x)=lga-x1+x .（1）若f(x) 为奇函数，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若f(x) 在(m,n) 上的值域为(-1,+) ，求m ，
6、n 的值.答案：（1）f(x) 为奇函数，f(x)+f(-x)=0 ，即lga-x1+x+lga+x1-x=0 ，(a-x)(a+x)1-x2=1 ，解得a=1 （负值舍去）.（2）由（1）知f(x)=lg1-x1+x ，则1-x1+x0 ，即1-x0,1+x0 或1-x0,1+x0,解得-1x1 ，即其定义域为(-1,1) .当x(-1,1) 时，t=1-x1+x=-1+21+x 为减函数，又y=lgt 在其定义域内为增函数，f(x)=lg1-x1+x 在其定义域内是减函数，则m=-1 .由题意知f(n)=lg1-n1+n=-1 ，解得n=911 ，即m=-1 ，n=911 .评价检测素养提
7、升课堂检测1.函数f(x)=logax(0a1) 在a2,a 上的最大值是( )A.0B.1C.2D.a答案：C解析：0a1 ，所以y=log2(2x+1)=log2u0 ，即函数y=log2(2x+1) 的值域是(0,+) .3.（）（2021浙江丽水高一期末）函数f(x)=ln(x2-2x) 的单调递增区间 .答案： (2,+)解析： f(x)=ln(x2-2x) 是复合函数，可以写成y=lnt ，t=x2-2x ，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知，外层函数y=lnt 是增函数，所以只需求t=x2-2x 在定义域内的单调递增区间.由不等式x2-2x0 ，解得x2 或x0 ，易知
8、t=x2-2x 在(2,+) 上单调递增，故函数f(x) 的单调递增区间为(2,+) .4.求函数f(x)=log12(x2-3x+5) 的单调区间.答案：由于方程x2-3x+5=0 的判别式=(-3)2-45=-110 在R 上恒成立，令u(x)=x2-3x+5 ，当x(-,32) 时，u(x) 为减函数，当x(32,+) 时，u(x) 为增函数，易知y=log12x 在定义域内单调递减， 函数f(x)=log12(x2-3x+5) 的单调递增区间为(-,32) ，单调递减区间为(32,+) .素养演练逻辑推理利用对数函数的性质求参数1.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1) .（1）若
9、函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围.答案：（1）若f(x) 的定义域为R ，则关于x 的不等式ax2+2x+10 的解集为R ，结合二次函数的图象（图略）可得a0,22-4a11 .故实数a 的取值范围是(1,+) .（2）若函数f(x) 的值域为R ，则ax2+2x+1 可取遍所有正实数，结合函数图象（图略）可得a=0 或a0,22-4a10, 解得0a1 .故实数a 的取值范围是0,1 .素养探究：对数型函数的定义域为R 的问题，多转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，在解题时，当最高次项的系数带字母时，需进行分类讨论.迁移应用1.若函数y=lg(ax2+ax+1) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.答案：当a=0 时，y=lg1 ，符合题意；当a0 时，由题意得a0,a2-4a0,解得0a4 .综上，a 的取值范围是0a4 .
