1、第二节简单线性规划课时训练【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示平面区域1,8,15线性目标函数最值3,9,11,14含参数的线性规划问题2,4,6线性规划实际应用17线性规划综合应用5,7,10,12,13,16一、选择题1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是(D)(A)1,+)(B)(-,1(C)(-,1)(D)(1,+)解析:由题意知2m+3-50,即2m-20,所以m1.故选D.2.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为(D)(A)-5(B)1(C)2(D)3解析:不等式组所围成的平面区
2、域如图.因为其面积为2,所以|AC|=4,从而C点坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.故选D.3.(2018天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为(C)(A)6(B)19(C)21(D)45解析:画出可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+5y得y=-x+.设直线l0为y=-x,平移直线l0,当直线y=-x+过点P(2,3)时,z取得最大值,zmax=32+53=21.故选C.4.变量x,y满足若直线kx-y+2=0经过该可行域,则k的最大值为(A)(A)1(B)3(C)4(D)5解析:如图所示可行域,直线kx-y+2=0过定点(0,2),当直线过图中
3、A点时,k最大,联立得A(2,4).则2k-4+2=0,k=1.故选A.5.若实数x,y满足则z=的取值范围为(B)(A)(-,-4,+)(B)(-,-2,+)(C)-2,(D)-4,解析:作出不等式组对应的平面区域,如图.因为z=,所以z的几何意义是区域内过任意一点(x,y)与点P(1,-2)的直线的斜率.由题意知C(4,0),所以kPO=-2,kPC=,所以z=的取值范围为z或z-2,即(-,-2,+).故选B.6.设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k等于(B)(A)(B)2(C)或2(D)或2解析:画出可行域如图所示.其中A(2,3),B(2,0),C(4,4)
4、.当k=0时,显然不符合题意;当k0时,最大值在点C处取得,此时12=4k+4,即k=2;当k0(舍)或k=20(舍).故k=2.故选B.7.已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两解,则实数k的取值范围是(C)(A)(-6,-2)(B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析:由不等式组作出可行域,如图,由图可知目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,即a=1,在点(-1,1)处取得最小值-3,即b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两解.令f(x)=x2-kx+1,则即
5、-k-2.故选C.二、填空题8.(2018北京卷)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是.解析:由条件得即作出可行域,如图阴影部分所示.设z=2y-x,即y=x+z,作直线l0:y=x并向上平移,显然当l0过点A(1,2)时,z取得最小值,zmin=22-1=3.答案:39.已知实数x,y满足且目标函数z=2x+y的最大值为6,最小值为1(其中b0),则的值为.解析:如图,设过点B时z取最大值,所以解得B(2,2).过点A时,z取最小值,所以解得A(1,-1).由A,B两点都在直线ax+by+c=0上,所以-2得,4b-c=0.所以=4.答案:410.已知正实数m,n满足2m+2n4,
6、则m2+n2的取值范围是.解析:作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示(不含边界),令z=m2+n2,则z表示区域内的动点(m,n)到原点的距离的平方,由图可知z=m2+n2经过点D(4,0)时,z取最大值,此时z=16,而原点到直线m+2n=2的距离最短,故zmin=()2=,又因为原不等式组所表示的平面区域不含边界,故m2+n2的取值范围为(,16).答案:(,16)11.若x,y满足条件当且仅当x=y=3时,z=ax+y取得最大值,则实数a的取值范围是.解析:直线3x-5y+6=0和直线2x+3y-15=0的斜率分别为k1=,k2=-.作出可行域如图所示,当且仅当直线z=ax+y
7、经过点(3,3)时,z取得最大值,则直线z=ax+y的斜率-a满足-a,解得-a.答案:(-,)12.如果实数x,y满足则的取值范围是,z=的最大值为.解析:画出可行域如图,A(,),B(3,6),C(3,1),的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率,所以kOCkAB,即2.因为z=+=+k在,1上单调递减,在1,2上单调递增,所以当k=时,有zmax=.答案:,213.已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足=+(12,01)的点P组成,则D的面积为.解析:=(2,1),=(1,2).设P(x,y),由=+,得故有又1,2,0,1,故有即则平面区域D如图中
8、阴影部分所示.由图可知平面区域D为平行四边形,可求出M(4,2),N(6,3),故|MN|=.又x-2y=0与x-2y-3=0之间的距离为d=,故平面区域D的面积为S=3.答案:314.定义maxa,b=设实数x,y满足约束条件则z=max4x+y,3x-y的取值范围是.解析:作出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示.令4x+y3x-y,得x-2y,当x-2y时,z=4x+y;当x-2y时,z=3x-y.在同一直角坐标系中作出直线x=-2y的图象,当(x,y)在平面区域CDEF内运动时(含边界区域),此时x-2y,故z=4x+y,可知目标函数z=4x+y经过D(2,2)时取得最大值10,经
9、过F(-2,1)时取得最小值-7;当(x,y)在平面区域ABCF内运动时(含边界区域但不含线段CF),此时x-2y,故z=3x-y,可知目标函数z=3x-y经过B(2,-2)时取得最大值8,经过F(-2,1)时z=-7,所以在此区域内-7z8.综上所述,z=max4x+y,3x-y-7,10.答案:-7,10三、解答题15.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)若点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.解:(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x
10、-5y-23=0,x+7y-11=0, 4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(-1)-3(-6)-a4(-3)-32-a0,即(14-a)(-18-a)0,解得-18a1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,求m的取值范围.解:变换目标函数为y=-x+,由于m1,所以-1-0,不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意义,只有直线y=-x+在y轴上的截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点A处取得最大值,由y=mx,x+y=1,得A(,),所以目标函数的最大值zmax=+2,所以m2-2m-10,解得1-m
11、1,故m的取值范围是(1,1+).17.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知,z=0.7x+1.2y,变量x,y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标(200,240).即应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大.
