1、第八节函数与方程一、教材概念结论性质重现1函数零点的概念对于一般函数yf (x)，我们把使f (x)0的实数x叫做函数yf (x)的零点2几个等价关系方程f (x)0有实数解函数yf (x)的图象与x轴有公共点函数yf (x)有零点3函数零点存在定理如果函数yf (x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)0，那么，函数yf (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f (c)0，这个c也就是方程f (x)0的解(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)0的实数解
2、(2)由函数yf (x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f (a)f (b)0，如图所示所以f (a)f (b)0是yf (x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件4二分法条件(1)函数yf (x)在区间a，b上图象连续不断；(2)所在区间端点的函数值满足f (a)f (b)0方法不断地把函数yf (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值5有关函数零点的结论(1)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(2)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误
3、，对的打“”，错的打“”(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac0时没有零点()(3)若函数yf (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)f (b)0()(4)若f (x)在区间a，b上连续不断，且f (a)f (b)0，则f (x)在(a，b)内没有零点()2下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()A解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点3函数f (x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1，2)B(2，3)C和(3，4)D(4，)B解析：因为f (2)ln 210，
4、且函数f (x)的图象连续不断，f (x)为增函数，所以f (x)的零点在区间(2,3)内4函数f (x)ex3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3B解析：由f (x)ex30，得f (x)在R上单调递增又f (1)30，因此函数f (x)有且只有一个零点5已知2是函数f (x)的一个零点，则f (f (4)的值是_3解析：由题意知log2(2m)0，所以m1，所以f (f (4)f (log23)23.6若二次函数f (x)x22xm在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是_(8,1解析：由题意知mx22x在(0,4)上有解又x22x(x1)21，所以yx22x在(0,4)上的值
5、域为(8,1，所以8m1.考点1判断函数零点所在区间基础性1设f (x)ln xx2，则函数f (x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)B解析：由于f (x)的图象在(0，)上连续，且f (1)10，f (2)f (1)0，故函数f (x)ln xx2的零点在区间(1,2)内2设函数f (x)xln x，则函数yf (x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D解析：当x时，函数图象连续不断，且f (x)0，f (1)0，f (e)e10，所以
6、函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内确定函数f (x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数yf (x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f (a)f (b)0.若有，则函数yf (x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断考点2确定函数零点的个数综合性(1)函数f (x)的零点个数为()A3 B2 C7 D0B解析：(方法一：直接法)由f (x)0得或解得x2或xe.因此函数f (x)共有2个零点(方法二：图象法)函数f (x)的图象如图所示由图象知函数f (x)共有2个零点(2)设m，nZ
7、，已知函数f (x)log2(|x|8)的定义域是m，n，值域是0,3当m取最小值时，函数g(x)2|x1|m1的零点个数为()A0 B1 C2 D3C解析：因为函数f (x)log2(|x|8)的值域是0,3，所以1|x|88，即7x7.因为函数f (x)log2(|x|8)的定义域是m，n，所以m的最小值为7，此时g(x)2|x1|6.令g(x)2|x1|60，解得x2log23或xlog23，即有两个零点函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f (x)0，有几个解就有几个零点；(2)函数零点存在定理，要求函数f (x)在区间a，b上是连续不断的曲线，且f (a)f (b)0，再结合函
8、数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两个函数图象，观察其交点个数即得零点个数1(2020武邑中学调研)若函数f (x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.2解析：因为f (x)在(0，)上单调递增，且f (2)1ln 20，所以函数f (x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.2已知函数f (x)cos x，则f (x)在0,2上的零点个数为_3解析：如图，作出g(x)与h(x)cos x的图象，可知g(x)与f (x)的图象在0,2上的交点个数为3，所以函数f (x)在0,2上的零点个数为3.考点3函数零点的应用应用性考向1根据函数零点所在的区
9、间求参数(1)已知一元二次方程x2ax10的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为_解析：设f (x)x2ax1，由题意知解得a1时，有交点，即函数g(x)f (x)xm有零点利用函数零点个数求参数的方法由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解设函数f (x)(1)若a1，则f (x)的最小值为_；(2)若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_(1)1(2)2，)解析：(1)若a1，则f (x)作出函数f (x)的图象如图所示，由图可得f (x)的最小值为1.(2)当a1时，要使f (x)恰有2个零点，需满足21a0，即a2；当a1时，要使f (x)恰有2个零点，需满足解得a1.综上，实数a的取值范围为2，)
