1、第5课时利用导数探究函数的零点问题提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考点一研究函数的零点个数综合性例12019全国卷节选已知函数f(x)ln xx+1x-1.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点听课笔记：一题多变 (变条件，变问题)将本例中的函数改为“f (x)ln xmx，mR”，讨论函数g(x)f (x)x3零点的个数反思感悟判断函数零点个数的3种方法直接法令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决【对点训练】已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f (x)
2、0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)fxx4ln x的零点个数考点二由函数的零点个数求参数的范围综合性例22022榆林市第十中学高三月考已知函数f(x)ax2ln xx，a0.(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围听课笔记：反思感悟已知函数(方程)零点的个数求参数范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理(2)若函数不是严格单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析(3)运用分离参数，数形结合等方法，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数【对点训练】2022重庆南开中学模拟已知函数f(x)xaex1(aR)
3、(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围第5课时利用导数探究函数的零点问题提升关键能力考点一例1解析：f(x)的定义域为(0，1)1，+.因为f(x)1x+2x-120，所以f(x)在(0，1)，(1，)单调递增因为f(e)1e+1e-10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.又01x10.所以f (x)minf(1)4a4，所以a1.故函数f(x)的解析式为f (x)x22x3.解析：(2)因为g(x)x2-2x-3x4ln xx3x4ln x2(x0)，所以g(x)13x2-4xx-1x-3x2.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时
4、，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)42512290.因为g(x)在(3，)上单调递增，所以g(x)在(3，)上只有1个零点，故g(x)在(0，)上仅有1个零点考点二例2解析：函数f(x)ax2ln xx的定义域为(0，)(1)f(x)2ax1x12ax2-x-1x，设g(x)2ax2x1当a0时，因为函数g(x)图象的对称轴为x14a0时，g(x)0，f(x)0时，令g(x)0.得x11-1+8a4a，x21+1+8a4a当0xx2时，g(x)0，f(x)x2时，g(x)0，f(x)0.所以函数f
5、(x)在(0，1+1+8a4a)上单调递减，在(1+1+8a4a，)上单调递增 (2)若f(x)有两个零点，即ax2ln xx0有两个解，alnx+xx2.设h(x)lnx+xx2，h(x)1-2lnx-xx3，设F(x)12ln xx，因为函数F(x)在(0，)上单调递减，且F(1)0，所以当0x0，h(x)0，当x1时，F(x)0，h(x)0.所以函数h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且x时，h(x)0，h(1)1，所以0a0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；当a0时，令f(x)0得xln a，当xln a时，f(x)ln a时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(
6、x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增解析：(2)由(1)可知，a0时，f(x)在R上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，因为函数有2个零点，所以f(x)minf(ln a)ln a200a0.记g(x)exx(x0)，则g(x)ex1，所以x(，0)时，g(x)g(0)10，则exx，于是e-x2x2，则xx24.所以当xxax241，限定x2xax2414x(8ax)，所以当x1且x0.于是，若函数有2个零点，则a(0，e2)
