1、第 1 页（共 4 页）第 2 页（共 4 页）机密启用前【考试时间：2021 年 4 月 8 日上午 10：00-12：00】峨眉二中 2021 级高一下 4 月考数 学 试 题（理科）命题人：审题人：注意事项：1.本试卷分第卷（客观题）和第卷（主观题）两部分，合计 150 分。考试结束后本试卷由学生自行保管，答题卡必须按规定上交。2.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考号填写清楚，并将考号填涂到对应方框内，请仔细核对。选择题答案进行填涂时请用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷试题卷上无效。3.主观题作答时，不能超过对应
2、的答题边框，超出指定区域的答案无效。一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项是正确的）1)cos(等于（）AsinsincoscosBsinsincoscosCsincoscossinDsincoscossin2已知 cos x14，x 为第二象限角，那么 sin 2x()A 154B 158C 158D.1583已知a、b 为单位向量，其夹角为 60，则(2a b)b 等于()A1B0C1D24在ABC 中，D 为线段 BC 上一点，且 BD2CD，则AD（）ABCD5若2，则化简1cos 2的结果是()Asin2Bcos2Ccos2Dsin26给出下列
3、命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若0a（为实数），则必为零；已知，为实数，若 ab，则 a与b 共线，其中错误命题的个数为（）A1B2C3D47已知 sin（），则 cos（2）（）ABCD8若 tan Atan B 3 3tan Atan B，则角 A+B 的值可以是()A.3B.23C.6D.49设向量2,3amm，21,2bmm，若a 与b 的夹角大于 90，则实数 m 的取值范围是（）A4,23B4,2,3 C42,3D4,2,310在四边形 ABCD 中，AB DC，且AC BD 0，则四边形 ABCD 是()A矩形B菱形C直角
4、梯形D等腰梯形11如图，角 的顶点在坐标原点 O，始边在 y 轴的正半轴，终边经过点()3,4P 角 的顶点在原点 O，始边在 x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且 tan2 ，则 cosPOQ的值为（）A.55B11 525C 11 525D5512设）（）（2121,bbbaaa，定义一种向量积：ba1212(,)(,)aabb1 122(,)a b a b已知)21,2（m，），（03n，点,()P x y 在sinyx的图象上运动，点 Q 在 yf x的图象上运动且满足nOPmOQ(其中 O 为坐标原点)，则 yf x的最大值 A 及最小正周期T 分别为（）A2，B2，C 12，
5、D 12，第 3 页（共 4 页）第 4 页（共 4 页）二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.22cos 15sin 15 的值为(填数值）14.已知点 A(1，2)，若线段 AB 的中点坐标为(3,1)且AB 与向量（=a1，)共线，则_.15.设当 x时，函数 f（x）sinxcosx 取得最大值，则 tan（）(填数值）16、如图所示，在ABO 中，OC14 OA，OD12 OB，AD 与 BC 相交于点 M,在线段 AC 上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F，使 EF 过点 M，设 OE OA，OF OB，那么13_三、简答题：（本题共 6 个大题，
6、17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分，请写出详细的解题过程）17.（10 分）设平面三点 A（1，0），B（0，1），C（2，5）.（1）试求向量的模；（2）若向量与的夹角为，求 cos；（3）求向量在上的投影18.（12 分）已知，（1）求 sin）（+的值（2）求 sin的值；（3）求的值19.（12 分）已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量b 方向上的投影为1.（1）求 a 与b 的夹角；（2）求(a 2b)b；（3）当为何值时，向量 a b 与向量 a 3b 互相垂直？20.（12 分）已知锐角三角形 ABC 中，sin(AB)35，sin(AB)15.（1）求证：t
7、an A2tan B；（2）设 AB3，求 AB 边上的高21.（12 分）己知向量)2,cos2),cos2sin322（，（=xbxxa函数 f(x)ba+m，且.（1）求 m 的值；（2）当时，不等式 cf（x）2c+15 恒成立，求实数 c 的取值范围22.（12 分）如图，矩形 ABCD 的长 AD2 3，宽 AB1，A，D 两点分别在 x，y轴的正半轴上移动，B，C 两点在第一象限，OAD.（1）当6 时，求OCOB;（2）求 OB 的最大值峨眉二中 2021 级高一下 4 月考理科数学答案1)cos(等于（A）AsinsincoscosBsinsincoscosCsincosco
8、ssinDsincoscossin2已知 cos x14，x 为第二象限角，那么 sin 2x(C)A 154B 158C 158D.158解：因为 cos x14，x 为第二象限角，所以 sin x 154，所以 sin 2x2sin xcos x2 154 14 1583已知a、b 为单位向量，其夹角为 60，则(2a b)b 等于(B)A1B0C1D24在ABC 中，D 为线段 BC 上一点，且 BD2CD，则AD（D）ABCD【解析】：如图，BD2CD；，5若2，则化简1cos 2的结果是(C)Asin2Bcos2Ccos2Dsin26给出下列命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量
9、；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若0a（为实数），则必为零；已知，为实数，若 ab，则 a 与b共线，其中错误命题的个数为（C）A1B2C3D4【解析】对于，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，错误；对于，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，正确；对于，0a时(为实数），0 或0a，错误；对于，若0时，0ab，此时a 与b不一定共线，错误；综上，其中错误命题为，共 3 个7已知 sin（），则 cos（2）（D）ABCD【解析】sin（）sin（）cos（），cos（2）cos（2）cos2（）2cos2（）12（）218若 tan Atan B
10、3 3tan Atan B，则角 A+B 的值可以是(B)A.3B.23C.6D.4解析：选 B 由已知，得 tan Atan B 3(tan Atan B1)，即 tan Atan B1tan Atan B 3，tan(AB)3.9设向量2,3amm，21,2bmm，若a 与b 的夹角大于 90，则实数 m 的取值范围是（A）A4,23B4,2,3 C42,3D4,2,3【解析】a 与 b 的夹角大于 90，0a b，221320mmmm，即23280mm，423m10在四边形 ABCD 中，AB DC，且AC BD 0，则四边形 ABCD 是(B)A矩形B菱形C直角梯形D等腰梯形解析ABD
11、C 即一组对边平行且相等，ACBD 0 即对角线互相垂直，四边形 ABCD 为菱形11如图，角 的顶点在坐标原点 O，始边在 y 轴的正半轴，终边经过点()3,4P 角 的顶点在原点 O，始边在 x 轴的正半轴，终边 OQ 落在第二象限，且 tan2 ，则 cosPOQ的值为（A）A.55B11 525C 11 525D55【解析】11t()antantan2 ，1tan2，2tan43 1212tantan21tantantanPOQ，2POQ 5cos5POQ 12设）（）（2121,bbbaaa，定义一种向量积：ba1212(,)(,)aabb1 122(,)a b a b已知)21,2
12、（m，），（03n，点,()P x y 在sinyx的图象上运动，点 Q 在 yf x的图象上运动且满足nOPmOQ(其中 O 为坐标原点)，则 yf x的最大值 A 及最小正周期T 分别为（C）A2，B2，C 12，D 12，【解析】nOPmOQ112,(),02,233 2,OQOPxxyyuuuvuuuvmn，则023xx，012yy，所以0126xx，02yy，所以 11sin226xyf x所以最大值12A，最小正周期4T 13.22cos 15sin 15 的值为(填数值）3214.已知点 A(1，2)，若线段 AB 的中点坐标为(3,1)且AB 与向量（=a1，)共线，则_.32
13、解析，点 B 的坐标为(321,122)(5,4)，则AB(4,6)又AB与 a(1，)共线，则 460，得32.15.设当 x时，函数 f（x）sinxcosx 取得最大值，则 tan（）(填数值）2【解析】：f（x）sinxcosx2sin（x）；当 x时，函数 f（x）取得最大值；2k，kz；tan（）16、如图所示，在ABO 中，OC14 OA，OD12 OB，AD 与 BC 相交于点 M,在线段 AC上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F，使 EF 过点 M，设 OE OA，OF OB，那么13_解：由于 E，M，F 三点共线，所以存在实数(1)使得 EM MF，EOOM(MO O
14、F)，于是OM=OE OF1.又 OE OA，OF OB，所以 OM OA OB1 1a1b，所以 17a37b 1a1b，则117，137，消去得 1 37.17.（10 分）设平面三点 A（1，0），B（0，1），C（2，5）.（1）试求向量的模；（2）若向量与的夹角为，求 cos；（3）求向量在上的投影【解析】解：（1）因为，所以（0，1）（1，0）（1，1），|AB|=-3 分（2）由（1）知（1，1），（1，5），所以 cos-7 分（3）由（2）知向量与的夹角的余弦为 cos，且|所以向量在上在上的投影为|cos-12 分18.（12 分）已知，（1）求 sin）（+的值（2）求
15、sin的值；（3）求的值解：（1）sin（+），-2 分（2）已知，所以 0+由于，整理得，sin（+）所以 sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin-6 分（3）由于所以 tan所以2tan-10 分19.（12 分）已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量b 方向上的投影为1.（1）求 a 与b 的夹角；（2）求(a 2b)b；（3）当为何值时，向量 a b 与向量 a 3b 互相垂直？解：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 1，cos 12，23.-4 分(2)(a2b)bab2b2|a|b|cos 2b2123.-8 分
16、(3)ab 与 a3b 互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，47.-12 分（如果向量没有箭头，直接扣掉 2 分）20.（12 分）已知锐角三角形 ABC 中，sin(AB)35，sin(AB)15.（1）求证：tan A2tan B；（2）设 AB3，求 AB 边上的高(1)证明sin(AB)35，sin(AB)15，sin Acos Bcos Asin B35，sin Acos Bcos Asin B15sin Acos B25，cos Asin B15tan Atan B2.tan A2tan B.-5 分(2)解2AB，sin(AB)35，tan(AB)34
17、，即 tan Atan B1tan Atan B34.将 tan A2tan B 代入上式并整理得2tan2B4tan B10，解得 tan B2 62，舍去负值，得 tan B2 62.tan A2tan B2 6.-8 分设 AB 边上的高为 CD，则 ABADDB CDtan A CDtan B 3CD2 6，由 AB3，得 CD2 6.AB 边上的高等于 2 6.12 分（该题目方法较多，根据学生答题情况酌情给分）21.（12 分）己知向量)2,cos2),cos2sin322（，（=xbxxa函数 f(x)ba+m，且.（1）求 m 的值；（2）当时，不等式 cf（x）2c+15 恒
18、成立，求实数 c 的取值范围【解析】解：（1）由题设可得4cos2x+m，得 m7；-5 分（2）由（1）得-8 分得，由不等式 cf（x）2c+15 恒成立得，解得，故实数 c 的取值范围为-12 分22.（12 分）如图，矩形 ABCD 的长 AD2 3，宽 AB1，A，D 两点分别在 x，y 轴的正半轴上移动，B，C 两点在第一象限，OAD.（1）当6 时，求OCOB;（2）求 OB 的最大值解(1)如图所示，当30时，AODRt中.33ODOA，过点 B 作 BHOA，垂足为 H.2321BHAH，所以)23,27(),23,27(OBB同理)233,21(),233,21(OCC-3 分44947233232127OCOB-5 分（点 C 的坐标可用几何法，也可向量法求 OC）（2）又因为OAD 02，则BAH2，OA2 3cos，BHsin2 cos，AHcos2 sin，B(2 3cos sin，cos)，OB2(2 3cos sin)2cos276cos 22 3sin 274 3sin 23.-8 分由 02，知32343，所以当 12时，OB2 取得最大值 74 3.-12 分
