1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质, 学生用书P135)1直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线AP和它在平面内的射影AO所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角范围：直线和平面所成的角的范围是.a直线垂直于平面，则它们所
2、成的角是直角；b直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角；c当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角(2)二面角二面角的平面角：如图所示，在二面角l的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则AOB叫做二面角l的平面角范围：二面角的取值范围是0，1辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”(3)注意对平面与平面垂直性质的理解2学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面
3、的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直1. 设m、n表示直线，、表示平面，下列命题为真命题的是()A若m，则mBm，m，则C若mn，m，则n Dm，n，则mnB解析 对于A，m可以在内，故A错；对于C，n可以在内，故C错；对于D，m与n可以平行，故D错2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且nC解析 依题意，对于A，注意到直线m可能位于平面内，因此选项A不正确；对于B，注意到直线m可能位于平
4、面内且与它们的交线平行，因此选项B不正确；对于C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C正确；对于D，注意到直线m可能位于平面内，因此选项D不正确综上所述，选C.3. 已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是()A BC DA解析 如图，因为PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC，又BC平面PBC，所以PABC.同理可得PBAC，PCAB.故正确4设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”
5、的_条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)解析 若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.答案 充分不必要5如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC1，将ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD平面ACD，则折叠后BC_解析 因为ADBC，所以ADBD，ADCD，所以BDC是二面角BADC的平面角因为平面ABD平面ACD，所以BDC90.在BCD中，BDC90，BDCD，所以BC 1.答案 1线面垂直的判定与性质(高频考点)学生用书
6、P136直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直；(3)求体积问题典例引领(2017邢台模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【证明】(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为
7、E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.因为PA底面ABCD，所以PAAB.又因为ABAD且PAADA，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD.又因为ABAEA，所以PD平面ABE.判定线面垂直常用的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理 题点通关 角度一证明线面垂直1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB平面ABCD.(1)若AC6，BD
8、8，PB3，求三棱锥APBC的体积；(2)若点E是DP的中点，证明：BD平面ACE.解 (1)因为四边形ABCD为菱形，所以BD与AC相互垂直平分，所以底面ABCD的面积S菱形ABCD6824，所以SABCS菱形ABCD12.又PB平面ABCD，且PB3，所以三棱锥APBC的体积VAPBCVPABCPBSABC12.(2)证明：如图，设BD与AC相交于点O，连接OE，因为O为BD的中点，E是DP的中点，所以OEPB.又PB平面ABCD，所以OE平面ABCD.因为BD平面ABCD，所以OEBD，由(1)知ACBD，又ACOEO，所以BD平面ACE. 角度二、三证明线线垂直及体积问题2. 如图，A
9、BC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积解 (1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin 60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.面面垂直的判定与性质学生用书
10、P136典例引领(2016高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A
11、1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用)；(2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来
12、解决(常用方法) (2017云南省师大附中适应性考试)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)点M在线段PC上，PMPC，若平面PAD平面ABCD，PAPDAD，三棱锥MBCQ的体积为，求点Q到平面PAB的距离解 (1)证明：由条件知，PQAD，BQAD，PQBQQ，所以AD平面PQB.因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PQ平面ABCD.设PAPDAD2a，则PQa，SBCQa2，VM
13、BCQa2a3，所以a1，VQPABVPQAB，设点Q到平面PAB的距离为h，因为PAAB2，PB，所以h1，所以h，即点Q到平面PAB的距离为.空间位置关系的综合问题学生用书P137典例引领(2016高考全国卷甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积【解】(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所
14、以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.折叠问题的求解策略(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，进而将其转化为立体几何的常规问题求解 如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa
15、，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解 (1)证明：在题图(1)中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图(2)中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图(1)知，A1OAOABa，平行四边形B
16、CDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.空间角与空间距离(选用)学生用书P138典例引领(1)已知正三棱锥SABC中，E是侧棱SC的中点，且SABE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为()ABC D(2) 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，点M在棱BC上，AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，则点C到平面AMC1的距离为()Aa BaCa Da【解析】(1)如图，在正三棱锥SABC中，作SO平面ABC，连接OA，OB，则O是ABC的中心，OABC，由此可得SABC，又SABE，所以SA平面SBC，故正三棱锥SABC
17、的各侧面是全等的等腰直角三角形因为SO平面ABC，所以SB与平面ABC所成的角为SBO，令AB2，则OB，SB，所以cosSBO.故选A.(2) 因为AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，所以AMC1M且AMC1M.在正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，所以CC1AM.又C1CC1MC1，所以AM平面BCC1B1，所以AMBC.因为底面ABC是边长为a的正三角形，所以点M为边BC的中点，且AMa.如图，过点C作CHMC1于H，因为AM平面BCC1B1，所以AMCH，又AMC1MM，所以CH平面C1AM.在RtC1CM中，C1MAMa，CMa，且CC1BC，所以CC1 a，所以
18、CHa.所以点C到平面AMC1的距离为a.故选A.【答案】(1)A(2)A(1)求解直线和平面所成角的常用方法：直接法，根据定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这也是解决此类问题首先要考虑采用的方法；间接法，当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明，包括平移法，公式法等(2)求解距离的实质就是根据距离的定义把各种距离转化为一些垂线段的长度的计算，通过解这条线段所在的直角三角形进行求解点到直线的距离可以利用点和直线所确定的平面直接转化为三角形中底边上的高进行求解；点到面的距离应该首先利用空间线面位置关系找到或作出点到面的垂线段其他距离的计算也都可
19、以转化为这两种距离的求解 通关练习1. 如图，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n.若ab，则()A，mnB，mnC，mnDnD解析 由勾股定理，得a2n2b2m2AB2，又ab，所以mn.因为sin ，sin ，而ab，所以sin sin ，得.2已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A BC D1C解析 如图，作DEBC于E，由l为直二面角，ACl得AC，进而ACDE，又BCDE，BCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离在RtBCD中，利用
20、等面积法，得DE.故选C., 学生用书P138)空间位置关系的证明及应用(本题满分12分)(2016高考全国卷乙)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积思维导图(1)(2)(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.(2分)所以AB平面PED，故ABPG.又由已知，可得PAPB，所以G是AB的中点(4分)(
21、2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影(5分)理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影(7分)连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.(9分)由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2.(11分)所以四面体PDEF的体积V222.(12
22、分)(1)在解题过程中，注意答题要求，严格按照直线、平面垂直的判定定理与性质定理条件的要求，有序进行论证说明(2)线面、面面位置关系的证明问题实质是线线、线面、面面位置关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理进行证明(3)在求解空间几何体的体积时，要根据空间几何体，选择适当的底面和高，然后套用公式求解, 学生用书P337(独立成册)1. 如图，在RtABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形个数为()A4B3C2 D1A解析 由PA平面ABC可得PAC，PAB是直角三角形，且PABC.又ABC90，所以ABC是直角三角形，且B
23、C平面PAB，所以BCPB，即PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形2(2017漳州质检)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，a，b，则abB若a，b，且，则abC若a，ab，b，则D若ab，a，b，则C解析 若，a，b，则直线a与b可能平行或异面，所以A错误；若a，b，且，则直线a与b可能平行或相交或异面，所以B错误；若a，ab，b，则，所以C正确；若ab，a，b，则与相交或平行，所以D错误故选C.3. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上
24、DABC内部A解析 由ACAB，ACBC1，得AC平面ABC1.因为AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上4设a，b，c是空间的三条直线，是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bcB解析 A的逆命题为：当c时，若，则c.由线面垂直的性质知c，故A正确；B的逆命题为：当b时，若，则b，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b，且c是a在内的射影时，若ab，则bc.由三垂线逆定理知bc，故C正确；D的逆命题为：当b，且c时，若
25、bc，则c.由线面平行判定定理可得c，故D正确5在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是()A B2C3 D4D解析 如图，取BC的中点D，连接AD，则ADBC.又PA平面ABC，根据三垂线定理，得PDBC.在RtABD中，AB5，BD3，所以AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，所以PD4.6如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD
26、解析 因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_解析 连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角因为ABBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.答案 8四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩
27、形，PA底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有_对解析 因为ADAB，ADPA且PAABA，可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，共有5对答案 59. 如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命题的序号是_解析 AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确，AEPC，AEBC，PB平面PBCAEPB，
28、AFPB，EF平面AEFEFPB，故正确，若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误，由可知正确答案 10设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若a且b，则ab；若a且a，则；若，则一定存在平面，使得，；若，则一定存在直线l，使得l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_解析 中a与b也可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在，使得与，都垂直中只需直线l且l就可以答案 11如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求
29、三棱柱ABCA1B1C1的高解 (1) 证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.12. (2
30、017兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.解析 由已知，在未折叠的原梯形中，ABDE，BEAD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示过点M作MPDE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点
31、，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，正确答案 13(2015高考全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120
32、，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解 (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.14. 如图所示，已知长方体ABCD
33、A1B1C1D1，点O1为B1D1的中点 (1)求证：AB1平面A1O1D.(2)若ABAA1，在线段BB1上是否存在点E使得A1CAE？若存在，求出；若不存在，说明理由解 (1)证明：如图所示，连接AD1交A1D于点G，所以G为AD1的中点连接O1G.在AB1D1中，因为O1为B1D1的中点，所以O1GAB1.因为O1G平面A1O1D，且AB1平面A1O1D，所以AB1平面A1O1D.(2)若在线段BB1上存在点E使得A1CAE，连接A1B交AE于点M.因为BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，所以BCAE.又因为A1CBCC，且A1C，BC平面A1BC，所以AE平面A1BC.因为A1B平面A1BC，所以AEA1B.在AMB和ABE中，BAMABM90，BAMBEA90，所以ABMBEA.所以RtABERtA1AB，所以.因为ABAA1，所以BEABBB1，即在线段BB1上存在点E使得A1CAE，此时.