1、第3讲平面向量及其运算高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_.解析因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以BA
2、D45.设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得所以点A的横坐标为3.答案32.(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.解析如图，设m，n，则在ODC中有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan 7，得cos ，又由余弦定理知得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，当n时，m1050(不合题意，舍去)，当n时，m105，故mn
3、3.答案33.(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_.解析设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，ab，ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41.可得a2b2.又aabab，babab，则(a2b2)ab4.答案考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e
4、1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是().(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心0G.热
5、点一平面向量的线性运算【例1】 (1)(2018南京三模)在ABC中，ABC120，BA2，BC3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为_.(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.解析(1)由题意得()()22923cos 1204.(2)法一如图，所以2222cos 1201，解得2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，21，解得2.答案(1)(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择
6、一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.【训练1】 (1)在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为_.(2)(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析(1)32cos 603，则()223322254，解得.(2)()，x，y.答案(1)(2)热点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)(2018江苏冲刺卷)已知向量a(2，1)，b(0，1).若(ab)a，则实数_.(2)(2018全国卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，则_.解析(1)由题意可得ab(2，1
7、)，则(ab)a(2，1)(2，1)50，解得5.(2)2ab(4，2)，因为c(1，)，且c(2ab)，所以124，即.答案(1)5(2)探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.【训练2】 (1)已知向量，则ABC_.(2)(2018常州期末)已知平面向量a(4x，2x)，b，xR，若ab，则|ab|_.解析(1)|1，|1，cosABC，则ABC30.(2)因为ab，所以4x2x4x2x20，解得2x2(舍)或2x1，故a(1，1)，b(1，1)，故ab(0，2)，故|ab|2.答案(1)3
8、0(2)2热点三平面向量的数量积【例3】 (1)(2018苏州自主学习)已知平面向量a(2，1)，ab10，若|ab|5，则|b|的值是_.(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.解析(1)因为50|ab|2|a|2|b|22ab520|b|2，所以|b|5.(2)法一在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 6021cos 60cos 1202，当且仅当，即时，取得最小值为.法二以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.又，则E，F，
9、0，所以2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.答案(1)5(2)探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用|a|求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练3】 (1)(2017南京、盐城模拟)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，
10、若，则的值是_.(2)(2018南通、泰州调研)已知矩形ABCD的边AB2，AD1.点P，Q分别在边BC，CD上，且PAQ，则的最小值为_.解析(1)法一以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB，AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，则B(，0)，E(，1).设F(x，2)，则(x，2)，又(，0)，x，x1，F(1，2)，.法二|cos BAF，|，|cos BAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.(2)法一(坐标法)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).设PA
11、B，则(2，2tan )，0tan .因为(2，2tan )2tan2tan 2tan 2tan 22(tan 1)444，当且仅当tan 1时，“”成立，所以的最小值为44.法二(基底法)设BPx，DQy，由已知得，tanPAB，tanQADy，由已知得PABQAD，所以1，所以1，x2y2xy2，解得0xy64，当且仅当x2y时，“”成立.2xy44.答案(1)(2)44热点四平面向量的综合应用【例4】 (1)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC的形状为_三角形.解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线.因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以AB
12、AC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC0)，所以16m12n16，即mn1，那么2(当且仅当3n24m2时取等号).10.(2017镇江模拟)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1)求cos 2的值；(2)若sin()，且，求角的值.解(1)由mn，得2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，又，则cos ，cos 22cos21.(2)由，得.因为sin()，所以cos()，而sin ，则sin sin()sin cos()cos sin().因为，所以.11.已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值.解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f(x)2cos2x14cos x2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾.综上所述.
