1、第2课时函数单调性的综合应用基础过关练题组一利用函数的单调性比较大小1.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间,若x1(a,b),x2(c,d),x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定2.(2021江西上饶横峰中学高一上月考)已知对任意的0x10,设a=f(),b=f(2),则()A.abB.a=bC.af(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)0,则()A.f(a)+f(b)-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)f(2x)的
2、解集为()A.(-,1)B.(-,1C.-12,0D.-12,17.(2021河南焦作十一中高一月考)已知函数f(x)是定义在区间(-5,1)上的减函数,若f(2m-4)f(3-4m),则实数m的取值范围是.8.若在1,+)上函数y=(a-1)x2+1与y=ax都单调递减,则实数a的取值范围是.9.函数f(x)在定义域上是减函数,且图像过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1f(x)在(0,3上是增函数还是减函数,并加以证明.能力提升练一、单项选择题1.()如果函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图像上的两点,那么-1
3、f(x)-1的实数x的取值范围是()A.(3,+)B.(-,3)C.2,3)D.0,3)4.(2021宁夏六盘山高级中学高一上月考,)已知函数f(x)=2x-1,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图像关于点(1,0)对称B.函数f(x)在(1,+)上单调递增C.函数f(x)的图像关于直线x=1对称D.函数f(x)在(2,6)上的最大值为25.()若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间1,2上都是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-1,0)(0,1C.(0,1)D.(0,16.(2021江西南昌八一中学度高一月考,)已知函数f(x)=(a-3)x
4、+5,x1,2ax,x1,若对R上的任意实数x1,x2(x1x2),恒有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,那么a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3C.2,3)D.(0,2二、多项选择题7.()已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5,下列关于函数f(x)的单调性说法正确的有()A.当a=1时,f(x)在(-,0)上单调递减B.若f(x)的单调递减区间是(-,-4,则a的值为-1C.若f(x)在区间(-,3)上是减函数,则a的取值范围是0,34D.f(x)在区间(3,+)上不可能是减函数8.()已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最值有以下结论,其中正确的有(
5、)A.f(x)在区间-1,0上的最小值为1B.f(x)在区间-1,2上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间2,3上有最小值2,最大值5D.当0a1时,f(x)在区间0,a上的最小值为1三、填空题9.()若函数f(x)=x2,xt,x,0x0)是定义在区间(0,+)上的增函数,则实数t的取值范围是.10.()若函数f(x)=|2x+c|是区间(-,1上的单调函数,则实数c的取值范围是.11.()若函数f(x)=x2+(2m+3)|x|+1的定义域被分成了四个单调区间,则实数m的取值范围是.四、解答题12.()已知函数f(x)=1a-1x(a0,x0).(1)用定义证明f(x)在(0,+)上是
6、增函数;(2)若f(x)在区间12,4上取得的最大值为5,求实数a的值.13.(2021四川泸县第一中学高一上月考,)已知函数f(x)=2x2+mx-1,m为实数.(1)若函数f(x)在区间1,3上是单调函数,求实数m的取值范围;(2)若对任意xR,都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数m的值;(3)若x-1,1,求函数f(x)的最小值.14.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x-1,1.(1)若a=12,求函数f(x)的最值;(2)若aR,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的解析式.15.(2020广西南宁三中高一上月考,)定义在(0
7、,+)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),f13=1,当x1时,f(x)-1.16.()已知函数f(x)=x+1x,x-2,-1),-2,x-1,12,x-1x,x12,2.(1)求f(x)的值域;(2)设函数g(x)=ax-2,x-2,2,若对于任意x1-2,2,总存在x0-2,2,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第2课时函数单调性的综合应用基础过关练1.D2.C3.D4.C5.B6.C10.C11.C1.D根据单调性的定义,所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量,才能由该区间上的函数
8、单调性来比较函数值的大小.故选D.2.Cf(x1)-f(x2)x2-x10,0x120,f()f(2),即a0,所以a2+1a,又因为函数f(x)在(-,+)上为减函数,所以f(a2+1)0,所以a-b,b-a.由函数的单调性可知,f(a)f(-b),f(b)f(-a),两式相加得选项C正确.故选C.5.B由题意知m4=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13.故选B.6.C由f(x)=x+1-1-x,得x+10,1-x0,解得-1x1.因为f1(x)=x+1是单调递增函数,f2(x)=-1-x是单调递增函数,所以f(x)=x+1-1-x是-1,1上的单调
9、递增函数,由不等式f(x+1)f(2x),得-1x+11,-12x1,x+12x,解得-12x0.7.答案76,2解析函数f(x)是定义在区间(-5,1)上的减函数,若f(2m-4)f(3-4m),则有-52m-41,-53-4m3-4m,解得76m2,即m的取值范围为76,2.8.答案0a1解析两个函数在1,+)上均单调递减应满足a-10,所以0a-3时,f(x)2,当x-2,则当-3x1时,|f(x)|2.10.C若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.例如:f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-12x时,f(x)+g(x)=x2+2在R上为增函数
10、;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数.所以不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.11.C对于函数y=-x2+4x+12,有-x2+4x+120,即x2-4x-120,解得-2x6.所以函数y=-x2+4x+12的定义域为-2,6.内层函数u=-x2+4x+12在区间-2,2上单调递增,在区间2,6上单调递减,外层函数y=u为定义域上的增函数,因此,函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为2,6.12.解析函数y=4x2-4x+6=4(x-2)2+2的定义域为R,令f(u)=4u,u=x2-4x+6,f(u)=4u在(-,0),(0,+)上单调递减,u=x
11、2-4x+6=(x-2)2+2的值域为2,+),且u=x2-4x+6=(x-2)2+2在(-,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以函数y=4x2-4x+6的单调增区间为(-,2),单调减区间为(2,+).13.解析函数g(x)在(0,3上是减函数.证明如下:任取x1,x2(0,3,且x1x2,则g(x1)-g(x2)=f(x1)+1f(x1)-f(x2)+1f(x2)=f(x1)-f(x2)1-1f(x1)f(x2).因为f(x)在(0,+)上是增函数,所以f(x1)-f(x2)0,f(3)=1,所以0f(x1)f(x2)f(3)=1,则0f(x1)f(x2)1,即1-1f(x1)f(
12、x2)0,即g(x1)g(x2).故g(x)=f(x)+1f(x)在(0,3上是减函数.能力提升练1.B2.B3.C4.A5.D6.D7.AC8.BCD一、单项选择题1.B根据题意有f(0)=-1,f(3)=1,又因为f(x)是R上的增函数,且-1f(x)1,所以f(0)f(x)f(3),故0x3.故选B.2.Bf(x)=ax+1x+2=a(x+2)-2a+1x+2=a+1-2ax+2,依题意有1-2a12,故选B.3.Cf(2)=-1,且f(2x-4)-1,f(2x-4)f(2),又f(x)是定义在0,+)上的减函数,02x-42,解得2x0.所以0a1,故选D.6.D因为对任意x1,x2R
13、,且x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,所以函数f(x)为R上的减函数,所以a-30,(a-3)+52a,解得00,-4(a-3)4a=-4,此时a的值不存在,B错误;当a=0时,f(x)=-12x+5,在(-,3)上是减函数;当a0时,由2a0,-4(a-3)4a3,得0a34,综上,a的取值范围是0,34,C正确;当a=0时,易得f(x)在(3,+)上单调递减,当a0时,由f(x)在区间(3,+)上是减函数得2a0,-4(a-3)4a3,解得af(2),所以f(x)在区间-1,2上的最大值为f(-1)=5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间2,3上单调递增,所以f
14、(x)在区间2,3上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;在选项D中,当0a1时,因为f(x)在区间0,1上单调递减,在1,a上单调递增,所以f(x)在区间0,a上的最小值为f(1)=1,D正确.因此选BCD.三、填空题9.答案t1解析函数f(x)=x2,xt,x,0x0)的图像如图.由图像可知要使函数f(x)=x2,xt,x,0x0)是区间(0,+)上的增函数,则t1.10.答案c-2解析由函数f(x)=|2x+c|=2x+c,x-c2,-2x-c,x-c2得函数f(x)=|2x+c|在-,-c2上单调递减,在-c2,+上单调递增,所以-c21,解得c-2.11.答案m0,即
15、m-32.四、解答题12.解析(1)证明:任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2x1x2,0x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由(1)可知,f(x)=1a-1x在区间12,4上是增函数,f(x)max=f(4)=5,即1a-14=5,解得a=421.13.解析(1)函数f(x)=2x2+mx-1图像的对称轴为直线x=-m4,因为函数f(x)在区间1,3上是单调函数,所以-m43或-m41,解得m-12或m-4.故实数m的取值范围是(-,-12-4,+).(2)因为函数f(x)对任
16、意xR,都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以f(x)的图像关于直线x=1对称,所以-m4=1,所以m=-4.(3)若-m4-1,即m4,函数f(x)在-1,1上单调递增,故f(x)min=f(-1)=1-m.若-m41,即m-4,函数f(x)在-1,1上单调递减,故f(x)min=f(1)=1+m.若-1-m41,即-4m4,函数f(x)在-1,-m4上单调递减,在-m4,1上单调递增,故f(x)min=f-m4=-m28-1.综上,当m4时,f(x)min=1-m;当-4m4时,f(x)min=-m28-1;当m-4时,f(x)min=1+m.14.解析(1)当a=12时,f(x)=x2
17、+x-1,x-1,1,其图像开口向上,且关于直线x=-12对称,函数f(x)在-1,-12上单调递减,在-12,1上单调递增,f(x)的最小值为f-12=-54,f(-1)=-1,f(1)=1,f(x)的最大值为f(1)=1.(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图像开口向上,且关于直线x=-a对称,当-a-1,即a1时,f(x)在-1,1上单调递增,f(x)min=g(a)=f(-1)=-2a;当-1-a1,即-1a1时,f(x)在-1,-a上单调递减,在-a,1上单调递增,f(x)min=f(-a)=-a2-1=g(a);当-a1,即a-1时,f(x)在-1,1上单调递减,f(x)min=
18、f(1)=2a=g(a).综上可得,g(a)=-2a,a1,-a2-1,-1ax20,则fx1x2=f(x11x2)=f(x1)+f1x2=f(x1)-f(x2),x1x20,x1x21,则f(x1)-f(x2)=fx1x20,即f(x1)-1,可得fx(x-2)f(3),即f(x2-2x)f(3).由(2)知,函数f(x)在(0,+)上为减函数,则x2-2x0,x-20,解得2x-1的解集为(2,3).16.解析(1)任取x1,x2-2,-1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)1-1x1x2.因为-2x1x2-1,所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0时,g(x)在-2,2上单调递增,此时,值域B为-2a-2,2a-2,依题意得-2a-2-52,2a-232,解得a74;当a0时,g(x)在-2,2上单调递减,此时,值域B为2a-2,-2a-2,依题意得2a-2-52,-2a-232,解得a-74;当a=0时,不符合题意.综上,a的取值范围是-,-7474,+.14
