1、海南省海口市第四中学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一单项选择题(本大题共9小题，共45.0分)1.设命题.则为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题，故命题.则为 .本题选择C选项.2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为 年级一年级二年级三年级学生人数1200xyA. 25B. 26C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由
2、此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数【详解】由题意得高二年级学生数量为：，高三年级学生数量，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得故选A【点睛】本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲乙甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看
3、，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为：（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图所给数据逐一分析【详解】甲中位数是28，乙中位数是29，乙高，错；甲均分为，乙均分为，甲低，正确；甲方差为，乙方差为，乙更稳定，正确，错因此正确的是故选：C【点睛】本题考查用样本数据特征估计总体特征，解题时根据所给数据求出各样本数据特征即可4.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一
4、组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数
5、：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为，故选D【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用5.“”是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.【详解】解：若直线：与直线：平行则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件故选D【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件
6、，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.6.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三角函数的定义可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.8.已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.
7、 【答案】C【解析】依题意，故，两边除以得，解得9.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于是递增数列，所以，且，即，解得或，所以，选D.二多项选择题(本大题共3小题，共15.0分)10.下列说法中正确的是（ ）A. 若事件与事件是互斥事件，则B. 若事件与事件是对立事件：则C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D. 把红橙黄3张纸牌随机分给甲乙丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【答案】ABC【解析】【分析】由对立事件和互斥事件的定
8、义可依次判断各个选项得到结果.【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，正确；事件与事件是对立事件，则事件即为事件，正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.故选：.【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位
9、长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得，根据三角函数伸缩变换可知，采用代入检验的方式可依次判断的正误；根据三角函数平移变换可判断的正误.【详解】.，对于，当时，关于直线对称，正确；对于，当时，正确；对于，当时，关于点对称，错误；对于，向右平移个单位得：，正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.12.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 平面平面C. 直线平面
10、D. 【答案】AD【解析】【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质知正确；根据面面垂直的判定可知在五棱锥中，只有侧面侧面与底面垂直，错误；根据可知与平面相交，错误；由正六边形特点和长度关系可确定正确.【详解】对于，平面，平面，又底面为正六边形，平面，平面，又平面，正确；对于，平面，平面，平面平面，同理可得：平面平面，则在五棱锥中，只有侧面侧面与底面垂直，错误；对于，平面，与平面也相交，错误；对于，底面为正六边形，在中，正确.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系等命题的辨析；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，属于常考题型.三填空题(本大题
11、共4小题，共20.0分)13.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别得出甲乙两位同学各参加一个兴趣小组，以及两位同学参加同一个兴趣小组对应的基本事件个数，即可求出对应概率.【详解】现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，共有种情况；这两位同学参加同一个兴趣小组共有种情况，因此，这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.14.已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_【
12、答案】【解析】【详解】条件p:log2(1x)0，01x1，解得0xa，若p是q的充分不必要条件，根据包含关系可得a0.则实数a的取值范围是：(,0.故答案为(,0.15.若数列满足，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用累乘的方式可求得，代入即可求得结果.【详解】， 时，即，.故答案为：.【点睛】本题考查利用累乘法求解数列通项公式及数列中的项的问题，关键是明确当递推关系式满足时，采用累乘法可求得通项公式.16.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为_【答案】2【解析】【分析】依据题意作出图形，由抛物线定义得：点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值可转化成
13、求点到直线距离问题，再由点到直线距离公式得解【详解】依据题意作出图形，点到直线的距离与其到轴的距离之和为：，设点到抛物线的准线的距离为，由抛物线定义可得：，所以的最小值问题可转化成的最小值问题.由图可得：的最小值就是点到直线距离，又,所以点到直线距离为：，所以点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及抛物线的简单性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题四解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该
14、兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式: ，）参考数据：1125+1329+1226+816=1092，112+132+122+82=498.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出
15、a的值，写出线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想试题解析：（1）由数据求得由公式求得再由所以关于的线性回归方程为.（2）当时, , ； 同样, 当时, , 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.18.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求频率分布直方图中a的值并估计这50名使用者
16、问卷评分数据的中位数；（2）从评分在40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在50，60）的概率【答案】（1）a0.006；76； （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，由概率之和为1求解a，设中位数为m，根据中位数平分直方图的面积求解.（2）由频率分布直方图，可知在40，50）内的人数：0.00410502，在50，60）内的人数：0.00610503设在40，50）内的2人分别为a1，a2，在50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，列举出40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件的种数，再找出其中2人评分都在50，60）内的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式
17、求解.详解】（1）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）101，解得a0006由频率分布直方图，可设中位数为m，则有（0.004+0.006+0.0232）10+（m70）0.0280.5，解得中位数m76（2）由频率分布直方图，可知在40，50）内的人数：0.00410502，在50，60）内的人数：0.00610503设在40，50）内的2人分别为a1，a2，在50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，则从40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（
18、a2，B1），（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），其中2人评分都在50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共3种，故此2人评分都在50，60）的概率为【点睛】本题主要考查样本估计总体和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，可证得，得到四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）由线面垂直的性质、矩形的特点和线面垂直的判定
19、定理可证得平面，由此得到，由等腰三角形三线合一得到，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理，结合平行关系即可证得结论.【详解】（1）取中点，连结.是的中点，且，又底面为矩形，是中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.（2）底面，平面，又底面为矩形，平面，平面，平面，为中点，又，平面，平面，由（1）知：，平面，又面，平面平面.【点睛】本题考查立体几何中线面平行、面面垂直关系的证明；涉及到线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，考查学生的逻辑推理能力.20.已知数列的前项和为，且满足，.（1）证明：数列为等比数列.（2）若，数列的前项和为，求.【答案
20、】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）利用可得到递推关系式，由此得到，求得后可确定首项，由此证得结论；（2）由等比数列通项公式求得后，可整理得到，采用分组求和的方式，结合错位相减法和等差数列求和公式可求得结果.【详解】（1），则当时，两式相减得：，即：，又时，解得：，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，又，设，则，两式相减可得：，又，.【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等比数列、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是对数列进行分组求和时，需根据分组情况，对于两组分别采用错位相减法和等差数列求和公式来进行求和，要求学生对于数列求和的方法能够熟练掌握.21.在平
21、面四边形中，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中， 即 ,解得.所以.（2）因为,所以 ，, .在中，, . 所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则
22、考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.22.已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.（）求椭圆的标准方程；（）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（）（）斜率之和为定值【解析】试题分析：（）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程（）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQMN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t26=0，利用韦达定理可计算试题解析：（）设椭圆的标准方程为椭圆过点，所以， 将代入椭圆方程化简得：，因为直线与椭圆相切，所以， 解可得，所以椭圆方程为； （）设点，则有，由题意可知，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得：由题意可知，通分后可变形得到 将式代入分子，所以斜率之和为定值. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
