1、1.7定积分的简单应用同步练习1.由曲线yx21、直线x0、x2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.(x21)dxB|(x21)dx|C.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx答案：C 解析：解答: y|x21|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.分析： 函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为2.曲线yx33x和yx围成的图形面积为()A4B8C10 D9答案：B解析：解答: 由解得或或两函数yx33x与yx均为奇函数，S2x(x33x)dx2(4xx3)dx2(2x2x4)8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的
2、上下限，在进行积分 3. 一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0s到t3s时间段内的位移是()A 31mB36mC38mD40m答案：B解析：解答: S(3t22t)dt(t3t2)333236(m)，故应选B.分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数 4. 一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8J B10JC12JD14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W(4x1)dx(2x2x)14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天
3、内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A. B3C63 D63答案：D解析：解答: dt63，故应选D.分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为() A.f(x)dxB.g(x)dxC.f(x)-g(x)dxD.g(x)-f(x)dx答案：C解析：解答:由题图易知，当xa，b时，f(x)g(x)，所以阴影部分的面积为f(x)-g (x)dx.分析：注意在这里式f(x)-g (x)dx.中要保证 f(x)g(x)对于任意xa，b恒成立7. 直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=si
4、nx所围成的平面图形的面积表示为()A.sinxdxB.sinxdxC.2sinxdx D.2sinxdx答案：D解析：解答:选D.由于y=sinx，x-1，1为奇函数，当x-1，0时，sinx0；当x(0，1时，sinx0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性 8. 由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为()A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2答案：A解析：解答: 选A.画出曲线y=(x0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为
5、如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=ab，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()A.B.C.D.答案：C解析：解答: 选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，得f(x)=ab=2sinxcosx=sin2x，当x时，sin2x0；当x时，sin2x0)围成图形的面积是，则c等于()A.B.C.1D.答案：B解析：解答: 选B.由得交点(0，0)，则S=(x2-cx3)dx=，c=.分析：解答此
6、题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为0，1.确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.f(x)dxB. f(x)dx|C.f(x)dx+f(x)dxD.f(x)dx-f(x)dx答案：D解析：解答:s=f(x)dx-f(x)dx,故选D分析：函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为12. (x22)dx( )A. B.C2 D1答案：B解析：解答:.分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。13. 设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在04s内所走的路程为()A.70mB.72mC.75mD.80
7、m答案：B解析：解答: 选B.s=(3t2+t)dt=72(m)分析：路程是速度对时间的积分 14.设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(m)，则m( )A1 B.C D2答案：C解析：解答: f(x)dx(ax2b)dx9a3b，由f(x)dx3f(m)，得9a3b3am23b，所以m23，所以m.分析： 简单题，把f(x)的解析式带入求解即可15.一物体受到与它的运动方向相反的力F(x)exx的作用，则它从x0运动到x1时，F(x)所做的功等于( )A. B.C D答案：D解析：解答: 解析：W，故选D.分析： 功是力对路程的积分。16.由曲线y22x，yx4所围图形的面积是
8、_答案：18解析：解答: 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，2)，(8,4)因此所求图形的面积S2(y4)dy取F(y)y24y，则F(y)y4，从而SF(4)F(2)18.分析： 由于对x轴积分比较复杂，我们可以采用对y轴积分简化计算量17.一物体沿直线以速度vm/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是_答案：(111)解析：解答: Sdt(1t)(111)分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用18. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为_.答案：解析：解答: 联立解得交点(1，3)，(
9、2，6)，S=(x2+2-3x)dx=分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用19.如图所示，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 答案：解析：解答:因为函数yx22x1与y1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积S(x22x11)dx.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分20.函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 .答案：解析：解答: f(x)dxx2dx(2x)dx.分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分21. 计算曲线yx22x3与直线yx3所
10、围图形的面积答案：由解得x0及x3.从而所求图形的面积S(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.解析：分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分22. 以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v=40-10t2，求此物体达到最高时的高度为多少？答案：由v=40-10t2=0，得物体达到最高时t=2(s).所以物体达到最高时的高度为h=(40-10t2) dt=m 解析： 分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用23.设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30.（1）求f(x)的表达式；答
11、案：设f(x)ax2bxc，其图象过点(0,1)，c1，又在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30，f (x)2axb，a1，b2，故f(x)x22x1.（2）求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；答案：依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S1(x22x1)dx(x3x2x)|.（3）若直线xt(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值答案：依题意，有St(x22x1)dx(x3x2x)|，即t3t2t，2t36t26t10，2(t1)31，t1.解析：分析：中档题，考查定积分在求解面积中的运用。理解并掌握定积分与面积的关
12、系，函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为 24. 计算dx.答案：y(2x2)表示椭圆y21的x轴上方部分，所以Sab解析： 分析：考查定积分的意义，难度较大。 25. 设f(a)|x2a2|dx.（1）当0a1与a1时，分别求f(a)；答案：0a1时，f(a)|x2a2|dx(a2x2)dx(x2a2)dx(a3a3)(a2a3)a3a2.当a1时，f(a)a2，所以f(a).（2）当a0时，求f(a)的最小值答案：当a1时，由于f(a)a2在1，)上是增函数，故f(a)在1，)上的最小值是f(1)1，当a0,1时，f(a)4a22a2a(2a1)，由f(a)0知，a或a0，故f(a)在0，上递减，在，1上递增，因此在0,1上，f(a)的最小值为f().综上可知，f(a)在0，)上的最小值为.解析：分析： 因为f(a)|x2a2|dx中带有绝对值，在计算的过程中首先要分类讨论去掉绝对值，本题考查了分类讨论求解问题的能力，难度较大
