1、课后限时集训(九)函数的单调性与最值建议用时：40分钟一、选择题1(多选)(2020福建晋江惠安一中月考)下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是()Ay|x|By3xCyDyx24BCD当x(0,1)时，y|x|x，所以y|x|在(0,1)上单调递增；y3x，y在(0,1)上均单调递减；yx24的图象是开口向下，以直线x0为对称轴的抛物线，所以yx24在(0,1)上单调递减2函数f(x)x在上的最大值是()AB C2D2A函数f(x)x在(，0)上是减函数，则函数f(x)在上的最大值为f(2)2，故选A.3函数f(x)x|1x|的单调递增区间为()A(，0)B(，1C(0，)D1，)Bf(
2、x)因此函数f(x)的单调递增区间为(，1，故选B.4已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是()A(，1B(，1C1，)D1，)Af(x)由题意知a1，即a1，故选A.5已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f 的x的取值范围是()A.BC.DD因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f .所以02x1，解得x.6函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A(1,2)B(1,2) C1,2)D1,2)D函数y1，当x(1，)时，函数是减函数，又当x2时，y0，1m2，故选D.二、填空题7已知
3、函数f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，则正实数a的取值范围是_(3，)因为f(x)ln xx在(0，)上是增函数，所以解得3a1或a3.又a0，所以a3.8函数f(x)的值域为_，因为 所以2x4，所以函数f(x)的定义域为2,4又y1，y2在区间2,4上均为减函数，所以f(x)在2,4上为减函数，所以f(4)f(x)f(2)即f(x) .9(2020长春模拟)若函数f(x)在(，)上单调递增，则实数m的取值范围是_(0,3由题意知解得0m3.三、解答题10已知函数f(x)(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解(1)证明：任
4、取x1x20，则f(x1)f(x2)，x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上是增函数，f 2，f(2)2，解得a.11设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x)(1)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)f(1)0，ba1.由f(x)0恒成立，知a0且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可
5、知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.即实数k的取值范围为(，26，)1(多选)(2020山东淄博实验中学期中)对于实数x，记x表示不超过x的最大整数，例如3，1.082，定义函数f(x)xx，则下列说法中正确的是()Af(3.9)f(4.1)B函数f(x)的最大值为1C函数f(x)的最小值为0D方程f(x)0有无数个根ACDf(3.9)3.93.93.9(4)0.1，f(4.1)4.14.14.140.1，A正确；显然x1xx，因此0xx1，f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，C正确；方程f(x)0的
6、解为xk(kZ)，D正确故选ACD.2设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_0,1)由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)3已知f(x)，x1，)(1)当a时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为1x1x2，所以x1x21，所以2x1x210.又x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)在1，)上的最小值为f(1).(2)因为在区间1，)上，f(x)0恒
7、成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值因为(x)(x1)21在1，)上单调递减，所以当x1时，(x)取最大值为(1)3，所以a3，故实数a的取值范围是(3，)1(多选)(2020济南市期末)对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间m，nD，同时满足下列条件：f(x)在m，n上是单调的，当定义域是m，n时，f(x)的值域也是m，n，则称m，n为该函数的“和谐区间”下列函数存在“和谐区间”的是()Af(x)x3Bf(x)3Cf(x)ex1Df(x)ln x2ABD对于A，yx3在R上单调递增，若存在区间m，n，mn，使解得或所以存在区间1,0，1,1，0,1满足条件，所以A存
8、在“和谐区间”；对于B，f(x)3在(，0)和(0，)上单调递增，设mn0或0mn，满足解得所以存在区间1,2满足条件，所以B存在“和谐区间”；对于C，yex1在R上单调递增，若存在区间m，n，mn，使即exx1有两个不等实数根，但函数yex的图象与直线yx1相切于点(0,1)，所以exx1没有两个不等实数根，所以C不存在“和谐区间”；对于D，yln x2在(0，)上单调递增，若存在区间m，n，mn，使即ln x2x有两个不等实数根，转化为ln xx2，即yln x的图象与直线yx2有两个不同的交点，易知满足条件，所以D存在“和谐区间”故选ABD.2已知定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)1；当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4，得f(x22x)f(1x)15，即f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x2或x1，故原不等式的解集为x|x2或x1
