1、32 一元二次不等式及其解法第1课时 一元二次不等式的解法内 容 标 准学 科 素 养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2.掌握图象法解一元二次不等式3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.培养直观想象发展逻辑推理应用数学建模01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 一元二次不等式的概念阅读教材P7678，思考并完成以下问题形如 axbc(a0)的不等式称之为一元一次不等式，那么一元二次不等式有什么特征？我们知道，方程 x21 的一个解是 x1，解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立那么什么是不等式 x21
2、 的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式 x21 的解集吗？提示：x|x1 或 x1 知识梳理(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为不等式(2)能使不等式成立的未知数 x 的一个值称为不等式的一个解(3)不等式所有解的称为解集一元二次集合知识点二“三个二次”的关系知识梳理 ax2bxc0 与 yax2bxc 及 ax2bxc0 之间什么关系(1)方程 x210 的根为.(2)函数 yx21 与 x 轴的交点为(3)函数 yx21 中，y0 时，对应的 x 的范围为y0 时，对应的 x 的范围为1或1(1,0)或(1,0)(1，)(，1)(1,1)一元二次不等式与相应
3、的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.b24ac000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不等实数解有两个相等实数解没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2 或 xx1x|x b2aRax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2自我检测1不等式 3x22x10 的解集为()A.x1x13 B.x13x1CDR答案：D2不等式 ax25xc0 的解集为x13x12，则 a，c 的值分别为()Aa6，c1 Ba6，c1Ca1，c1 Da1，c6答案：B探究一 一元二次不等式的解法阅读教材 P78例 1 例 2方法步骤：(1)变系数，将 x2 的系数化为正数(2)解方
4、程：求根(3)结合图象写解集例 1 解下列不等式(1)x22x230；(2)12x23x50；(3)4x218x814 0.解析(1)两边都乘以3，得 3x26x20，30，3624120，且方程 3x26x20 的根是 x11 33，x21 33.原不等式的解集是x1 33 x1 33.(2)不等式可化为 x26x100，(6)241040，原不等式的解集为.(3)不等式可化为 16x272x810，即(4x9)20，4x90 时，x94.原不等式的解集为xx94.方法技巧 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零(2)计算相应的判别式(3)当 0
5、 时求出相应的一元二次方程的两根(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集跟踪探究 1.函数 y x2x12的定义域是()Ax|x4 或 x3 Bx|4x3Cx|x4 或 x3 Dx|4x3解析：要使函数 y x2x12有意义，须有 x2x120，即(x3)(x4)0，解得 x4 或 x3，所以原函数的定义域为x|x4 或 x3答案：C2不等式组x23x20，x23x0的解集为_解析：由x23x20，x23x0得x1或x2，0 x3，所以 0 x1 或 2x3.答案：x|0 x1 或 2x3探究二“三个二次”间对应关系的应用阅读教材 P104第 3 题若关于 x 的不等式12x22xmx
6、的解集为x|0 x2，求 m 的值解析：12x22xmx，即 x2(2m4)x0 x2 为方程 x2(2m4)x0 根，m1.例 2 已知 x2pxq0 的解集是x12x13，解关于 x 的不等式 qx2px10.解析 由已知得，x112，x213是方程 x2pxq0 的根，p1213，q1213，p16，q16.不等式 qx2px10，16x216x10，即 x2x60，2x3，故不等式 qx2px10 的解集为x|2x3方法技巧 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究(2)讨论一元二次方程和一元二次
7、不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：跟踪探究 3.已知一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为(，)，且 0，求不等式 cx2bxa0 的解集解析：法一：由题意可得 a0，且，为方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得ba0，ca0，a0,0，由得 c0，则 cx2bxa0 可化为 x2bcxac0.，得bc11 0.由得ac 1110.1，1为方程 x2bcxac0 的两根又0，011，不等式 x2bcxac0 的解集为xx1或x1，即不等式 cx2bxa0 的解集为xx1或x1.法二：由题意知 a0，由 cx2bxa0，得cax2ba
8、x10.将方法一中的代入，得 x2()x10，即(x1)(x1)0.又0，011.所求不等式的解集为xx1或x1.探究三 一元二次不等式的实际应用阅读教材 P7879例 3，例 4方法步骤：(1)构造一元二次不等式(2)求解不等式(3)回归实际问题例 3 某工厂的固定成本为 3 万元，该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为 1 万元，设生产该产品 x(百台)，其总成本为 g(x)万元(总成本固定成本生产成本)，并且销售收入 r(x)满足：r(x)0.5x27x10.5，0 x7，13.5，x7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？(
9、2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解析(1)依题意得 g(x)x3，设利润函数为 f(x)，则 f(x)r(x)g(x)，所以 f(x)0.5x26x13.5，0 x7，10.5x，x7，要使工厂有盈利，则有 f(x)0，因为 f(x)00 x7，0.5x26x13.50 或x7，10.5x00 x7，x212x270 或x7，10.5x00 x7，3x9或x7，x10.5.则 3x7 或 7x10.5，即 3x10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于 300 台小于 1 050 台的范围内(2)当 3x7 时，f(x)0.5(x6)24.5，故当 x6 时，f(x)有最大值 4.5，
10、而当 x7 时，f(x)10.573.5，所以当工厂生产 600 台产品时盈利最大方法技巧 解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系(3)求：解不等式(4)答：回答实际问题跟踪探究 4.用一根长为 100 m 的绳子能围成一个面积大于 600 m2 的矩形吗？若“能”，当长、宽分别为多少时，所围成的矩形的面积最大解析：设矩形一边的长为 x m，则另一边的长为(50 x)m,0 x50.由题意，得 x(50 x)600，即 x250 x6000，解得 20 x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能
11、围成一个面积大于 600 m2 的矩形用 S 表示矩形的面积，则 Sx(50 x)(x25)2625(0 x50)当 x25 时，S 取得最大值，此时 50 x25.即当矩形的长、宽都为 25 m 时，所围成的矩形的面积最大课后小结1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)；求方程 ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数 yax2bxc 图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当 mn
12、时，若(xm)(xn)0，则可得x|xn 或 xm；若(xm)(xn)0，则可得x|mxn有口诀如下：大于取两边，小于取中间2从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式 ax2bxc0 表示二次函数 yax2bxc 的函数值大于 0，图象在 x 轴的上方；一元二次不等式 ax2bxc0 的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围(2)方程的角度：一元二次不等式 ax2bxc0 的解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0 的根素养培优探究一元二次方程根的分布设关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)对应的二次函数为 f(x)ax2bxc(a0)，
13、结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置以及区间端点函数值的正负，可以解决根的分布问题已知方程 8x2(m1)xm70 有两实根(1)如果两实根都大于 1，求实数 m 的取值范围；(2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数 m 的取值范围；(3)如果一个根大于 2，另一个根小于 2，求实数 m 的取值范围解析：(1)法一：设函数 f(x)8x2(m1)xm7，作其草图，如图若两实根均大于 1，需m1232m70，f10，m116 1，即m25或m9，mR，m17，解得 m25.法二：设方程两根分别为 x1，x2，则 x1x2m18，x1x2m78，因为两根均大于 1，所以 x110，x210
14、，故有m1232m70，x11x210，x11x210，即m1232m70，m1820，m78m1810.解得m25或m9，m17，mR.所以 m25.(2)若两根 x1，x2(1,3)，则 0，f10，f30，1m116 3，即m25或m9，mR，m34，17m49，所以 25m34.(3)若一根大于 2，另一根小于 2，则 f(2)0，即 27m0，解得 m27.方法技巧 方程 ax2bxc0(a0)，设 f(x)ax2bxc(a0)几类方程根的分布问题(此时 b24ac)方程 f(x)0 在区间(k，)内有两个实根的条件是0，b2ak，fk0.图方程 f(x)0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)0.图方程 f(x)0 在区间(k1，k2)内有两个实根的条件是0，k1 b2ak2，fk10，fk20.图方程 f(x)0 的一根小于 k1，另一根大于 k2 且 k1k2 的条件是fk10，fk20.图04 课时 跟踪训练