1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 四十六直线的交点坐标与距离公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为()A.3x-4y-6=0B.3x-4y+6=0C.4x+3y-6=0D.4x+3y+6=0【解析】选C.由方程组得即P(0,2).因为ll3,所以kl=-,所以直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选
2、C.因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0.因为l与l3垂直,所以3(1+)+(-4)(-2)=0,所以=11,所以直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.2.平面直角坐标系中与直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3【解析】选D.在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),B关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程=
3、,即y=2x-3.3.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为()A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】选D.由题知直线斜率存在,设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得=,所以k=2或k=-.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选D.满足条件的直线有以下两种可能;一是直线l过点P(3,4)且与AB所在的直线平行,而kAB=-,此时直线方程为y-4=
4、-(x-3),即2x+3y-18=0;二是直线l过点P(3,4)与AB的中点D(1,0),此时直线方程为=,即2x-y-2=0.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.4.(2017唐山模拟)若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.如图,直线l:y=kx-过定点P(0,-),又A(3,0),所以kPA=,则直线PA的倾斜角为,满足条件的直线l的倾斜角的范围是.5.(2017衡水模拟)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值
5、为()A.3B.2C.3D.4【解析】选A.依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得=|m+7|=|m+5|m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3.【加固训练】(2017郑州模拟)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则最小值是()A.2B.2C.4D.2【解题提示】注意可以看作点(m,n)到点(0,0)的距离.【解析】选A.因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m
6、+3n-10=0,的最小值即为的最小值.而表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为2.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选A.由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在RtOAB中,OA=,OB=,斜边AB=,斜边上的高h即为所求的最小值,所以SOAB=OAOB=ABh,所以h=2,所以的最小值为2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线(2+1)x+(-1)y+1=0(R),恒过定点_.【解析】整理为x-y+1+(2x+y)=0,令得所以恒过定点.答
7、案:【加固训练】已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点()A.B.C.D.【解析】选C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.由得即定点坐标为.7.(2017洛阳模拟)在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为_.【解析】由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,所以M位于以PQ为直径的圆上,因为|PQ|=,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=1
8、0.答案:10【加固训练】在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是_.【解析】由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小,直线AC的方程为y-2=2(x-1),直线BD的方程为y-5=-(x-1),由得交点坐标为(2,4).答案:(2,4)8.(2017太原模拟)直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b=_.【解析】方法一:由题知,点A不在直线x+2y-3=0上,所以两直线平行,所以-=-,所以a=2.又点A到两直线距离相等,所以
9、=,所以|b+2|=4,所以b=-6或b=2.因为点A不在直线x+2y-3=0上,所以两直线不能重合,所以b=2.方法二:在直线x+2y-3=0上任取两点P1(1,1),P2(3,0),则P1,P2关于点A的对称点P1,P2都在直线ax+4y+b=0上,因为易知P1(1,-1),P2(-1,0),所以所以b=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1l2,且直线l1过点(-3,-1).(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.【解析】(1)因为l1l2,所以a(a-1)-
10、b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.(2)因为直线l2的斜率存在,l1l2,所以直线l1的斜率存在.所以k1=k2,即=1-a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.联立可得:a=2,b=-2或a=,b=2.10.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A的坐标.(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.【解析】(1)设A(x,y),由题意可得解得所以A.(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上.
11、设对称点为M(a,b),则解得所以M.设m与l的交点为N,则由得N(4,3).又因为m经过点N(4,3),所以由两点式得直线方程为9x-46y+102=0.(20分钟40分)1.(5分)(2017长治模拟)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,所以即因此关于x和y
12、的方程组有一组解为【加固训练】已知直线l1:y=xsin和直线l2:y=2x+c,则直线l1与l2()A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某点旋转可以重合【解析】选D.直线l1:y=xsin的斜率为sin,而sin-1,1,即直线l1的斜率k1-1,1,直线l2:y=2x+c的斜率k2=2,因为k1k2,所以直线l1与l2不可能平行,即两直线必然相交,则直线l1与l2通过绕l1上某点旋转可以重合.2.(5分)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y
13、)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为_.【解析】因为f(x)=+=+ ,所以f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)的距离之和,设点A(-2,4)关于x轴的对称点为A,则A为(-2,-4).要求f(x)的最小值.可转化为|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|AB|=5,即f(x)=+ 的最小值为5.答案:53.(5分)(2017南昌模拟)已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且y0x0+2,则的取值范围是_.【解析】因为点P在直线x+3y-2=0上,
14、点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),所以=,化简为x0+3y0+2=0.设=kOM,因为y00;当点M在射线BR(不包括端点)上时,kOM0,n0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于_.【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求+的最小值.【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m).则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)=(5+22)=,当且仅当即m=,n=,等号成立.答案:4.(12分)(2017郑州模拟)已
15、知点A(3,3),B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l经过两直线l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线l的方程.【解析】解方程组得交点P(1,2).若点A,B在直线l的同侧,则lAB.而kAB=-,由点斜式得直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.若点A,B在直线l的异侧,则直线l经过线段AB的中点,由两点式得直线l的方程为=,即x-6y+11=0.综上所述,直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11=0.【加固训练】m为何值时,直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能围成三角形?【解析】先考虑三条直线中有两条直
16、线平行或重合的情况.若m0,则k1=-4,k2=-m,k3=,当m=4时,k1=k2;当m=-时,k1=k3;而k2与k3不可能相等.若m=0,则l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:x-2=0,此时三条直线能围成三角形.所以当m=4或m=-时,三条直线不能围成三角形.再考虑三条直线共点的情况,此时m0且m4且m-.将y=-mx代入4x+y-4=0,得x=,即l1与l2交于点P,将P点坐标代入l3的方程得+-4=0,解得m=-1或m=.所以当m=-1或m=时,l1,l2,l3交于一点,不能围成三角形.综上所述,当m为-1或-或或4时,三条直线不能围成三角形.5.(13分)已知直线l:3x
17、-y-1=0.(1)在直线l上求一点P,使得点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.(2)在直线l上求一点Q,使得点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【解析】(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B,连接AB并延长交l于点P,此时点P满足|PA|-|PB|的值最大.设点B的坐标为(a,b),则kBBkl=-1,即3=-1.所以a+3b-12=0.又由于线段BB的中点坐标为,且在直线l上,所以3-1=0,即3a-b-6=0.联立,解得a=3,b=3,所以B(3,3).于是AB的方程为=,即2x+y-9=0.解方程组得即l与AB的交点坐标为P(2,5).(2)如图乙所示,设点C关于l的对称点为C,连接AC交l于点Q,此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.设C的坐标为(x,y),所以解得所以C.由两点式得直线AC的方程为=,即19x+17y-93=0.解方程组得所以所求点Q的坐标为.关闭Word文档返回原板块
