1、2.1数列的概念与简单表示法同步检测一、选择题1下列有关数列的说法正确的是（ ）同一数列的任意两项均不可能相同；数列1，0，1与数列1，0，1是同一个数列；数列中的每一项都与它的序号有关A B C D答案：D解析：解答：是错误的，例如无穷个7构成的常数列7，7，7，的各项都是7；是错误的，数列1，0，1与数列1，0，1各项的顺序不同，即表示不同的数列；是正确的，数列中的每一项都与它的序号有关。故选：D分析：数列的分类，按项数分：项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列；按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； 递减
2、数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列； 常数列：各项都相等的数列2已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）A递增数列 B递减数列 C常数列D摆动数列答案：A解析：解答： 1，随着n的增大而增大故选：A分析：数列的分类按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列； 常数列：各项都相等的数列3已知数列中，则此数列是( )A递
3、增数列B递减数列C摆动数列D常数列答案：B解析：解答：由可知该数列的前一项是后一项的2倍，而，所以数列的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列分析：数列的分类按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列； 常数列：各项都相等的数列4数列0，的通项公式为( )A B C D答案：C解析：解答：数列0，即数列，该数列的一个通项公式为，故选C分析：先把数列中的每一项变成相同结构的形式，再找规律即可5已知数列中
4、，则的值为（ ）A5 B8 C12 D17答案：C解析：解答：，当n1时， 213；当n2时，325；当n3时，538；当n4时，8412，即12 故选：C分析：由数列递推式得到，分别取n=1，2，3，4，5即可求出6数列中，则等于( )A2 B3 C9 D32答案：B解析：解答：当n=2，代入，得=3，故选B分析：把n=2代入通项中可求7已知数列1，2，3，4，则这个数列的一个通项公式是( )A1 BCn D答案：C解析：解答：1， 2， 3， 4，所以数列的通项公式为：n ；故选：C分析：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的规律是解决本题的关键8下面四个结论：数列可以看作是一个定
5、义在正整数集(或它的有限子集1，2，3，n)上的函数；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的项数是无限的；数列通项的表示式是唯一的其中正确的是( )A B C D答案：A解析：解答：数列的项数可以是有限的也可以是无限的数列通项的表示式可以不唯一例如数列1，0，1，0，1，0，1，0的通项可以是an，也可以是an等等；故选：A分析：本题主要考查数列的数列的分类，根据数列的概念及简单表示法是解决本题的关键9观察下列数的特点，1， 1， 2， 3， 5， 8， x， 21， 34， 55， 中，其中x是（ ）A12B13C14D15答案：B解析：解答：观察下列数的特点，1， 1， 2，
6、 3， 5， 8， x， 21， 34， 55， ，可得1+1=2，1+2=3，2+3=5，5+8=13，故x=13，故选：B分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律即可10如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(nl，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为，则=（ ）A B C D答案：B解析：解答：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n-3，即令=，故选B分析：此题是图形变化，通过观察可得第n个图形的点数为3n-3，即11数列1，3，5，7，9，的一个通项公式为( )Aan
7、2n1Ban(1)n(12n)Can(1)n(2n1)Dan(1)n(2n1)答案：B解析：解答：当n1时，a11排除C、D；当n2时，a23排除A，故选B分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律即可12已知数列：2，0，2，0，2，0，前六项不适合下列哪个通项公式 （ ） A1(1)n+1 B2|sin| C1(1)n D2sin答案：D解析：解答：对于选项A，an=1+（-1）n+1取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项B，an=2|取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；对于选项C，an=1-（-1）n取前六项得2，0，2，0，2，0满足条
8、件；对于选项D，an=2取前六项得2，0，-2，0，2，0不满足条件；故选D分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律即可13在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数则（ ）A8036 B8038 C8048 D8058答案：D解析：解答：设anknb(k0)，则有，解得k4，b2an4n2 ，故选：D 分析：根据一次函数的特征，列出二元一次方程组即可14数列an满足且对于任意的nN*都有an+1an，则实数a的取值范围是（ ） A、（，3）B、，3） C、（1，3）D、（2，3）答案：D解析：解答：数列an满足且对于任意的nN*都有an+1
9、an；可得数列为递增数列，则满足在n7，及n7时数列均递增，且a8a7，故3a0，且a1，且a27（3a）3解得2a3即实数a的取值范围是（2，3）故选D分析：由已知可得此数列为递增数列，故满足在n7，及n7时数列均递增，且a8a7，构造不等式组，解不等式组即可15若an为递减数列，则an的通项公式可以为（ ） A、an=2n+3B、an=n2+3n+1 C、D、an=（1）n答案：D解析：解答：根据已知可得，anan10，A：an=2n+3，anan1=20，是递增的数列B：an=n2+3n+1，anan1=2n4，是先增后减C：，是递减的数列D：an=（1）n是摆动数列，不具有单调性故选C
10、分析：要判定数列的单调性，根据单调性的定义，考虑利用anan10进行检验即可二、填空题16数列，3，则9是这个数列的第 项答案：14解析：解答： 由数列的前五项可归纳出数列的通项公式为：令，化为：，得，所以，9是这个数列的第14项，故答案为14分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可17 数列的一个通项公式为 答案：解析：解答：数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有，而数列1，3，5，7，9，的一个通项公式为，所以数列的一个通项公式为，故选答案为：分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可18
11、数列an中，ann211n，则此数列最大项的值是 答案：30 解析：解答： ann211n2，nN，当n5或6时，an取最大值30，故答案为30分析：本题主要考查了二次函数的性质，通过配方法即可求出最大值，注意n只能为正整数19在数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是 答案：108解析：解答：an，n7时，an最大a72722973108 故答案为：108分析：本题主要考查了二次函数的性质，通过配方法即可求出最大值，注意n只能为正整数20在实数数列an中，已知a1=0，|a2|=|a11|，|a3|=|a21|，|an|=|an11|，则a1+a2+a3+a4的最大值为 答案：2
12、解析：解答：解：枚举出a1、a2、a3、a4所有可能： 0，1，0，1；0，1，0，1；0，1，2，10，1，2，10，1，2，3 0，1，2，3所以最大是2故答案为：2 分析：根据a1=0，|a2|=|a11|，|a3|=|a21|，|a4|=|a31|枚举出所求可能，即可求出a1+a2+a3+a4的最大值三、解答题21写出下列数列的一个通项公式(1)，； 答案：解：符号规律(1)n，分子都是1，分母是n21，an(1)n(2)，；答案：解：a1，a2，a3，a4，an(3)1，2，； 答案：解：a11，a2，a32，a4，an(4)2，6，12，20，30，答案：解：a1212，a2623
13、，a31234，a42045，a53056，解析：分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可22已知数列的通项公式为（1）是否是它的项？ 答案：解：设，得，是数列的第项；（2）判断此数列的增减性与有界性（注：有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）答案：解：，数列是递增数列，当时，有最小值，又，所以，数列是有界数列解析：分析：（1）令，解得即可；(2) 根据数列的分类：按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； 摆动数列：从
14、第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列； 常数列：各项都相等的数列即：当an1an0时，an为递增数列；当an1an0时，an为递减数列；当an1an0时，an为常数列； 当an1an的符号不确定时，an为摆动数列23数列an的通项公式是ann27n6(1)这个数列的第4项是多少？答案：解：当n4时，a4424766(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？答案：解：令an150，即n27n6150，解得n16(n9舍)，即150是这个数列的第16项(3)该数列从第几项开始各项都是正数？答案：解：令ann27n60，解得n6或n1(舍)，从第7项起各项都
15、是正数解析：分析：类比二次函数的yx27x6性质，即可求24、已知奇函数有最大值，且，其中实数x0，p、q是正整数（1）求的解析式； 答案：解：由奇函数可得r=0，x0时，由以及可得到2q25q+20，只有q=1=p，；（2）令，证明（n是正整数）答案：解：由，则由（n是正整数）， 因为 n是正整数，所以，故解析： 分析：（1）由奇函数的定义知恒成立，求出r，利用基本不等式求出函数的最大值，以及且，其中p、q是正整数，即得函数的解析式（2）根据（1），求出，作差或作除，即可证明结论，此题考查了分析问题解决问题的能力和运算能力25、一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北
16、京）车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2，n）（1）求数列ak的通项公式；答案：解：a1=n1，考察相邻两站ak，ak1之间的关系，由题意知k=k1（k1）+（nk），kk1=（n+1）2k（k2）依次让k取2，3，4，k得k1个等式，将这k1个等式相加，得k=nkk2（n，kN+，1kn）（2）当k为何值时，ak的值最大，求出ak的最大值答案：解：，当n为偶数时，取k=，ak取得最大值；当n为奇数时，取k=或， ak取得最大值解析：分析：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用