1、辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题1.过点，斜率是的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接由直线方程的点斜式写出直线方程，化为一般式得答案.【详解】解：直线过点且斜率为，由直线方程的点斜式得：，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题.2.下列可作为数列1，2，1，2，1，2，的通项公式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将代入排除可得结果.【详解】解：当时，A，；B，；C，；D，故排除AD；当时， B，；C，故排除C；故选：B.【点睛
2、】本题考查观察法求数列的通项公式，利用排除法可准确得到答案，是基础题.3.已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ）A 4或5B. 4C. 5D. 4或5【答案】A【解析】【分析】由两条直线互相垂直的条件，建立关于的方程，解之即可得到实数的值.【详解】解：因为直线与直线垂直，解得：或，故选：A.【点睛】本题给出含有字母参数的直线方程，在它们相互垂直的情况下求参数的值.着重考查了两条直线相互垂直的充要条件，属于基础题.4.设是棱长为的正方体，与相交于点，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将向量看成基底，然后用基底计算即可，注意它们的模长、夹角.【详解】解：在正方体中.对于A
3、.，故A错误；对于B.，故B正确；对于C.，故C错误；对于D.，所以D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的计算问题，突出基底意识，即利用基底将涉及到的向量表示出来，然后进行计算.5.已知等差数列的公差为，且，若，则的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】根据中各项下标的特点，发现有，优先考虑等差数列的性质去解.【详解】解：，即，根据等差数列的性质得，故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质.掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，是基础题.6.双曲线（，）与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，可得双曲线的一个焦点坐标，再利用过点且垂直于实轴的弦长为，求出，即可求得双曲线的离心率.【详解】解：抛物线的焦点坐标为，双曲线的一个焦点为.令，代入双曲线，可得，.过点且垂直于实轴的弦长为，.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求弦长是关键.7.直线：与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，则等于（ ）A. 4B. C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相交，圆可知：，弦长为，说明直线过圆心，求解的值.得到直线的倾斜角，根据三角形和三角形是两个全等的直角三角形
5、，即可求出.即可得到的长度.【详解】解：由圆的方程可知：圆心为，半径，弦长为，说明，直线过圆心，则有：，解得，直线的方程为：，则直线的倾斜角为，三角形和三角形是两个全等的直角三角形中：，那么：，故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的运用，弦长的问题，是中档题.8.点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）A. y12x2B. y12x2或y36x2C. y36x2D. yx2或yx2【答案】D【解析】【分析】化简得到x2y(a0)，讨论a0和a0两种情况，利用点到准线的距离计算得到答案.【详解】抛物线标准方程为x2y(a0)当a0时，开口向上，准
6、线方程y则点M到准线的距离为36，解得a，则抛物线方程为yx2；当a0时，开口向下，准线方程为y，则点M到准线的距离为36，解得a，则抛物线方程为yx2.综上所述：yx2或yx2故选：【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.二、多项选择题9.若，与的夹角为，则的值为（ ）A. 17B. 17C. 1D. 1【答案】AC【解析】【分析】求出，以及，代入夹角公式即可求出.【详解】解：由已知，解得或，故选：AC【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.10.若是圆：上任一点，则点到直线距离的值可以为（ ）A. 4B. 6C. D. 8【答案】ABC【解析】【分析】由题意画出图形
7、，求出圆心到直线距离的最大值，加半径可得点到直线距离的最大值，观察选项大小得答案.【详解】解：如图，圆：的圆心坐标为，半径为，直线过定点，由图可知，圆心到直线距离的最大值为，则点到直线距离的最大值为.ABC中的值均不大于，只有D不符合.故选：ABC.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.11.椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据，当时最大，进而求出点的坐标.【详解】解：记椭圆的两个焦点分别为，有，则知，当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，点的坐标
8、为或，故选：BD.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的性质，灵活运用椭圆的定义是解这道题的关键.12.已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2【答案】AB【解析】【分析】变形条件可得，利用累加法可求得，将原不等式恒成立转化为对于任意的恒成立，将ABCD选项中的数值代入验证即可得结果.【详解】解：，则，上述式子累加可得：，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB
9、.【点睛】本题考查累加法求数列通项公式以及不等式恒成立问题，将选项逐一代入验证可得准确得到答案，避免分类讨论，是中档题.三、填空题13.过点作圆：的切线有且只有一条，则圆的半径为_.【答案】3【解析】【分析】根据题意说明点在圆上，代入点的坐标列方程求解即可.【详解】解：由已知得点在圆：上，得，故答案为：.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，推出点在圆上是关键，是基础题.14.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】先求出、的长度以及，再利用公式求得夹角的余弦值，进而可得正弦值.【详解】如图，由已知得，故答案为：.【点睛】本题考查异面直线的夹角问题，利用向量法可方
10、便求出，关键是要将目标向量用知道夹角和模的向量来表示出来，是中档题.15.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为，的最大值为直线与直线的距离.【详解】解：由题意，双曲线的渐近线方程为，由点到直线的距离大于恒成立，的最大值为直线与渐近线的距离.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中等题.16.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等
11、等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为_，若这堆货物总价是万元，则的值为_.【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】由题意可得第层的货物的价格为，根据错位相减法求和即可求出.【详解】解：由题意可得第n层的货物的价格为，设这堆货物总价是，则，由可得，这堆货物总价是万元，故答案为：；.【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题.四、解答题17.知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列
12、.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可得通项公式.（2）利用分组法求出数列的和.【详解】（1），且成等比数列得，；（2）根据题意：，【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，是基础题.18.已知圆：，直线：.（1）直线恒过点，求点的坐标；（2）当为何值时，直线与圆相切；（3）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）直：的方程可化为，可得直线过定点；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解；（
13、3）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程.【详解】（1）直线：，可化为：，所以直线恒过点；（2）将圆的方程化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.若直线与圆相切，则有，解得；（3）直线与圆相交于，两点，且，圆的圆心到直线的距离，解得，故所求直线方程为或.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，第一问的关键是要的系数为零；第二三问关键都是利用圆心到直线的距离来解决问题，是基础题.19.已知椭圆：与双曲线：有相同左右焦点，且椭圆上一点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过且与椭圆交于，两点，若，求直线的斜率取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知
14、可得焦点坐标，可得方程，在利用点在曲线上可得，解方程组即可；（2）设、，：，与联立，利用判别式和韦达定理，计算，列不等式求解的取值范围.【详解】（1）因为椭圆：与双曲线：有相同左、右焦点，且椭圆上一点的坐标为，所以，故，解得，所以椭圆方程为；（2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设：代入整理，得，设，又，由、得，的取值范围是.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，关键是韦达定理的应用，注意不要忽略判别式，是中档题.20.如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，点是线段的中点，过的平面交平面于，且，且，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1
15、）先证明四边形是平行四边形，可得，则可证明平面，再利用线面平行的性质定理证明；（2）先证明，两两垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系，求出，再求出平面的一个法向量，可得直线与平面所成角的正弦值，进一步求解余弦值.【详解】（1）证明：因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以；（2）在中，因为，所以由正弦定理，即，所以，在中所以，因为是等腰三角形，且，点是线段的中点，得，在中，为中点，所以，又由已知且，故平面，又平面，所以；在中，由，可知，易知四边形为平行四边形，所以，故，两两垂直；所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，又，所以，即,
16、令，解得，所以为平面的一个法向量，因为，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与直线平行的判定，空间直线与平面所成的角的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题.21.已知数列为等差数列，且满足，数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：是等比数列，并求的通项公式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析 ，（3）【解析】【分析】（1）列方程求出数列的公差，进而可直接求出其通项公式.（2）利用，可得是等比数列，进而可求其通项公式；（3）代入和，将恒成立，转化为对恒成立
17、，求出的最大值，即可得实数的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，即；（2），（常数）又，也成立，是以1为首项，3为公比的等比数列，；（3），对恒成立，即对恒成立，令，当时，当时，故，即的取值范围为.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前项和公式的应用，恒成立问题的求解，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.22.已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹曲线为.（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）设过定点的直线与曲线相交于，两点，若，当时，求面积的取值范围.【答案】（1），为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）【解析】【分析】（1）根据斜率之积，设点坐标，表示出斜率，列式整理可得结果；（2）设：，联立，利用韦达定理和，可求出的取值范围，利用求出面积表达式，利用单调性求其范围.【详解】（1）由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）依题意，可设：，联立得，设，由，解得，且，且易知，由可得，则，满足，设，则，在递减，故关于递增，.【点睛】本题考查轨迹方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中三角形面积范围的问题，关键是要将面积用变量表示出来，是一道中档题.
