1、重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题本试卷共4页，22题全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线l的方
2、程是，则直线l经过（ ）A一、二、三象限 B一、二、四象限 C一、三、四象限 D二、三、四象限2已知椭圆，则椭圆C的（ ）A焦距为 B焦点在x轴上 C离心率为 D长轴长为43下列说法正确的是（ ）A直四棱柱是正四棱柱B两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥4下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）A B C D5直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）A B C D6直线与椭圆的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D以上三种关系都可能7赵州桥，是一座位
3、于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A10米 B米 C米 D米8已知是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A若，且，则 B若，且，则C若，则 D若，则9已知，B是圆上的点，点P在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）A9 B C10 D1210已知F为椭圆C：的右焦点，点F关于直线的对称点为Q，若直线l过点Q，且，则椭圆
4、C上的点到直线l距离的最大值为（ ）A B C D11已知点P是双曲线上一动点，为圆的直径，若最小值为，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D12已知三棱锥的所有棱长均为2，点M为边上一动点，若且垂足为N，则线段长的最小值为（ ）A B C D1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13已知双曲线的一个顶点是，则m的值是_14过两圆和交点的直线方程为_15如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若该二十四等边体棱长为1，则该二十
5、四等边体的体积为_16如图，已知P为椭圆C：上的点，点A、B分别在直线与上，点O为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知分别是双曲线C：的左、右焦点，点P是双曲线上一点，满足且（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l交双曲线于A，B两点，若的中点恰为点，求直线l的方程18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，直线、与平面所成角分别为30、45，E为的中点（1）已知点F为中点，求证：平面；（2）求二面角的余弦值19（本小题满分12分）已知椭圆
6、C：的离心率为，且过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，若点E满足，且点E在椭圆C上，求实数t的值20（本小题满分12分）已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线对称，与x轴相切，被直线截得的弦长为（1）求圆C的方程；（2）若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线、，切点分别为A、B点，求四边形面积的最小值21（本小题满分12分）如图，已知四棱柱的侧棱长为4，底面是边长为2的菱形，点E为中点，直线和交于点H，面（1）求证：；（2）若，在线段上是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角为60，若存在，求的值；若不存在，请说明理由22（本小题满分12分）已
7、知椭圆的左、右焦点为，P是椭圆上的点，当点P在椭圆上运动时，面积的最大值为4，当轴时，面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，若直线、交椭圆另一点分别是A、B，点P不在x轴上，且，求点P的坐标高2022届高二（上）期中考试参考答案数学一、单选题答案123456789101112ADCDBACDCBAA二、填空题答案13141516解析：9题：设点，点B在圆上，则，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知，所以，故选C10题：由点关于直线：对称点为，所以直线，设椭圆的参数方程为（为参数），设点，则点M到直线l的距离为：，故选B11题：，所以，所以，故选A
8、12题：取中点O，因为，所以点N在以O为球心，半径为1的球面上，又点N在平面上，故N的轨迹为一段圆弧，设点O在平面的投影点为，且点（S为中点），则点N在以为圆心的圆弧上，经计算得，则，当点N在上时，取最小值，故选A 14解：两圆方程相减就得公共弦的方程：15解：由题知原来正方体棱长为，则正方体的体积为，又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为，故截去体积为，所以24等边体的体积为16解：（法一）设，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则，又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则法二：设，由和中点相同，则，所以平行四边形性质边长平方和等于为定值，又点
9、P在椭圆上，则有，因为为定值，则三、解答题答案：17解：（1），所以，在三角形中，所以，则，故双曲线的标准方程为： （5分）（2）设，有，所以又，所以，所以直线方程为：，满足，符合题意 （10分）18（1）取中点G，连结，在四棱锥中，平面，底面为矩形，E为的中点，平面，平面平面平面，平面，平面 （6分）（2）由面，所以为与面所成角，所以为与面所成角，由，所以，以A为坐标原点，为x，y，z正方向建立空间直角坐标系，则，平面中：，设法向量，则，取，则，则，又平面，故平面的法向量为：，设二面角的平面角为，所以 （12分）也可以不建系，直接找出二面角的平面角来求19解：（1），所以，所以椭圆方程为：，
10、过点，所以，所以椭圆方程为：， （4分）（2）设，联立所以又，所以点，带入椭圆中： （12分）20解：（1）设圆C的标准方程为：，所以圆心C为由圆C关于直线对称有： 与x轴相切： 点C到的距离为：，被直线截得的弦长为有：，结合有：，所以，又，所以，所以圆的标准方程为：， （6分）（2）由与圆相切，所以，由，所以，又，且（当时取等）所以（当时取等）所以四边形面积的最小值为 （12分）21解：（1）由菱形中：，又，所以，又面，所以，所以面，所以 （4分）（2）在中，所以为中位线，则C为中点，又，所以为平行四边形，又为平行四边形，为平行四边形又面，所以面在中，则，三角形中，所以，所以三角形为正三角形，以点B为坐标原点，为y，z轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则设，所以点，面中：，设法向量，则，取，则，所以平面中，设法向量，则，取，则，所以若存在，则，化简有：有，所以或者，由，且，所以在线段上不存在点M （12分）22解（1），所以椭圆方程为 （4分）（2）设直线为：，：联立方程，消x有：，则则同理可得：，由，所以，有，则，又，则，若，又，有，矛盾，不成立，若，又，所以，所以点P的坐标为 （12分）
