1、考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积一、选择题1.(2022江西萍乡二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.3B.2C.1D.132.(2022山西临汾二模)如图所示,网格中小正方形边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.45+232B.45+32C.476D.2333.(2022新疆二模)如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的侧面积等于()A.10+26B.6+2(3+6)C.6+2(2+6)D.10+2(2+3)4.我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正
2、方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,它的正视图、侧视图、俯视图依次是()A.B.C.D.5. (2022辽宁模拟预测)如图所示,在平面五边形ABCDE中,AB=DE=1,BC=CD=2,AE=2,ABC=BCD=CDE=90,则五边形ABCDE绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为()A.203B.7C.223D.2336.(2022新高考4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2
3、.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(72.65)()A.1.0109 m3B.1.2109 m3C.1.4109 m3D.1.6109 m37.(2022江西二模)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中面积的最大值为()A.6B.2C.3D.28.(2022北京首都师大附中开学考试)如图所示,将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起,使正方体的一个顶点正好是球的球心,则这个组合体的体积为()A.76+1B.76+56C.78+1D.+19.(2022江苏二模)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.
4、若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为()A.32B.48C.64D.8010.(2022山西二模)已知圆柱两个底面圆的圆心分别是O1,O2,圆柱的高O1O2=8,圆O1、圆O2都在球O的表面上,且球O的表面积是圆柱O1O2侧面积的2倍,则球O的半径为()A.4B.32C.42D.42+2311.在三棱锥P-ABC中,PAC是等边三角形,平面PAC平面ABC,AB=3,AC=23,CAB=60,则三棱锥P-ABC的外接球体积为()A.43B.1233C.323D.642312.(2022江西景德镇三模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A.323B.32C.6
5、43D.64二、填空题13.(2022山西怀仁一中二模)已知圆锥顶点为P,底面的中心为O,过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为33的正三角形,则该圆锥的体积为.14.(2022江西上饶一中二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.15.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为.16. 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将DAP绕直线DP翻转至DAP处,使得平面APD平面PDCB,则三棱锥A-DPB的外接球的表面积是.考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积1. C解析:
6、由三视图可知,该几何体为如下图所示的三棱锥A-BCD,VA-BCD=1312123=1.故选C.2. C解析: 根据三视图可知,几何体是正方体切掉了一个三棱锥.故体积为23-1311211=476.故选C.3. C解析: 由三视图可知,这个几何体是底面为直角梯形的棱锥(如图所示),因为PB=25,BC=22,PC=23,所以PCBC,所以其侧面积为12(22+222+2223+42)=6+22+26.故选C.4.C解析: 由三视图的定义可知:正视图为;侧视图为;俯视图为.故选C5. D解析: 如图所示,由题意可知五边形ABCDE可看作正方形BCDF切去一个等腰直角三角形AEF,得到的几何体是一
7、个圆柱挖去一个圆锥,设圆柱和圆锥的体积分别为V1,V2,所以五边形ABCDE绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为V=V1-V2=222-13121=233.故选D.6.C解析: 由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0 km2=1.4108 m2,S2=180.0 km2=1.8108 m2,故该棱台的体积V棱台=13h(S1+S2+S1S2)=139(1.4108+1.8108+1.41081.8108)1.4109(m3),即增加的水量约为1
8、.4109 m3.故选C.7. B解析: 由三视图作出原几何体的直观图如图所示.由三视图可知AB平面BCD,且AB=BC=2,BD=CD=2,则BD2+CD2=BC2,所以BDCD,所以SBCD=12BDCD=1,因为BD,BC平面BCD,则ABBD,ABBC,SABD=12ABBD=2,SABC=12BCAB=2,AD=AB2+BD2=6,AC=AB2+BC2=22,所以AD2+CD2=AC2,所以ADCD,SACD=12CDAD=3,因此该三棱锥的四个面中面积的最大值为2.故选B.8.A解析: 由题意,该组合体的体积可以看成一个正方体和78个球体的体积之和,其体积为13+784313=1+
9、76.故选A.9.C解析: 当球心在圆锥外部时,设球的半径为R,则(R-6)2+(23)2=R2,解得R=4,不符合题意.故球心在圆锥的内部且在高上,设球心到圆锥底面的距离为d,则有(6-d)2-d2=(23)2,解得d=2,则球的半径R=6-d=4,所以球的表面积S=4R2=64.故选C.10.C解析: 设圆柱的底面半径为r,球O的半径为R,则R2=r2+42=r2+16,因为球O的表面积是圆柱侧面积的2倍,所以4R2=2r82,即R2=8r,所以r2+16=8r,所以r=4,R=42,故选C.11. C解析: 在ABC中,BC=AC2+AB2-2ACABcosCAB=(23)2+(3)2-
10、2233cos60=3,所以AC2=AB2+BC2,则ABC=90,设点D是AC的中点,则点D是ABC的外心,又PAC是等边三角形,所以PDAC,而平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PD平面PAC,所以PD平面ABC,设PAC的外心是点O,则点O到点P,A,C的距离都是233223=2,连接OB,则OB=OD2+BD2=12+(3)2=2,所以PAC的外心O为三棱锥P-ABC外接球的球心,所以球的半径R=2,球的体积V=43R3=323.故选C.12. C解析: 依据题中的三视图,可得该几何体直观图如图所示.设M为BD的中点,则BM=MD=AM=2,BDAM,BDCM,CM=2
11、3,平面ABD平面CBD.由BM=MD=AM=2,BDAM,可知ABD为等腰直角三角形,点M是ABD的外心.又由平面ABD平面CBD,平面ABD平面CBD=BD,CDBD,得CM平面ABD,所以三棱锥A-BCD外接球的球心位于直线CM上,设三棱锥A-BCD外接球的半径为R,则R2=22+(23-R)2,解得R=433.则三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4R2=44332=643.故选C.13. 3解析: 由题意,过直线PO的平面截该圆锥所得的截面是面积为33的正三角形,设该正三角形的边长为a,可得34a2=33,解得a=23,所以圆锥底面圆的半径为r=3,圆锥的高为h=3,所以该圆锥的体积
12、为V=13r2h=13(3)23=3.14.30解析: 该几何体为一个被切去一个角的三棱柱,体积为V=34126-1334123=30.15. 3解析: 由图知,球与ABC和A1B1C1没有交线;与四边形AA1B1B和四边形AA1C1C的交线分别是以点A为圆心、2为半径的14圆弧,长度分别为;与四边形BB1C1C的交线是以BC长为直径的半圆,故长为.因此,交线的长度之和为3.故答案为3.16. 40解析: 由题可知DPA为等腰直角三角形,取PD的中点为O1,则点O1为DPA的外接圆的圆心.在平面PDCB中,过O1作PD的垂线l,因为平面APD平面PDCB,平面APD平面PDCB=PD,所以直线l平面PDA.设DPB的外接圆圆心为点O2,由题意可知,直线l在平面PBCD内,且经过O2,则点O2也是三棱锥A-DPB的外接球球心,设外接球的半径为R,则DBP的外接圆半径也为R,因为在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,所以BD=25,DPB=135,所以2R=BDsinDPB=210,即R=10,所以三棱锥A-DPB的外接球的表面积是4R2=40.
