1、5 从力做的功到向量的数量积A 组1.若向量 a,b 满足|a|=3,ab=-5,那么 b 在 a 方向上的射影等于()A.15B.-C.-D.-15解析:b 在 a 方向上的射影为|b|cos=-=-.答案:C2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)(m-3n),mn,则 k 等于()A.B.C.-D.-解析:由 mn 得 mn=0,由(m+kn)(m-3n)得(m+kn)(m-3n)=0,即|m|2-3k|n|2=0,3k=4,k=.答案:A3.在四边形 ABCD 中,且 =0,则四边形 ABCD 是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形解析:由 知四边形 ABCD 是平行四边
2、形,由 =0 知 ACBD,即对角线垂直,所以四边形ABCD 是菱形.答案:B4.(2016 北京海淀高三质检)若向量 a 与 b 不共线,ab0,且 c=a-()b,则向量 a 与 c 的夹角为()A.0B.C.D.解析:c=a-()b,ac=aa-ab=0,a 与 c 的夹角为 .答案:D5.如图,已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,则()()等于()A.B.-C.D.-解析:点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,|=|=|=,AOB=BOC=AOC=,()()=()+3()cos =-.答案:D6.在ABC 中,AB=6,O 为ABC 的外心,则 等于(
3、)A.B.6C.12D.18解析:如图,过点 O 作 ODAB 于 D,易知 AD=AB=3,则 =()=36+0=18,故选 D.答案:D7.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)a=0,则 a 与 b 的夹角为 .解析:设 a 与 b 的夹角为,由已知得 a2=ab,又|a|=1,|b|=,1 cos=1.cos=.又 0,180,=45.答案:458.在ABC 中,已知|=|=4,且 =8,则ABC 的形状为 .解析:由 =8,得 16cos A=8,即 cos A=,A=60,又 AB=AC,所以ABC 是等边三角形.答案:等边三角形9.若|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角
4、为 60,则|a+3b|=.解析:|a+3b|2=a2+2a3b+9b2=1+612cos 60+94=43,|a+3b|=.答案:10.导学号 03070101 已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值:(1)ab;(2)(2a+b)(a-2b);(3)|2a-3b|.解:(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2,ab=(|a+b|2-|a|2-|b|2)=(21-42-52)=-10.(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-3ab-2b2=2|a|2-3ab-2|b|2=242-3(-10)-252=12.(3)|2a-3b|=-.11.导学号
5、 03070102 已知|a|=1,|b|=,设 a 与 b 的夹角为.(1)若=,求|a+b|;(2)若 a 与 a-b 垂直,求.解:(1)|a+b|=.(2)由题意得,a(a-b)=0,a2=ab=|a|b|cos,cos=.0,=.B 组1.若 =0,则ABC 为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形解析:=0,=0,()=0,=0,A=90,ABC 为直角三角形.答案:A2.在OAB 中,已知 OA=4,OB=2,点 P 是 AB 的垂直平分线 l 上的任意一点,则 =()A.6B.-6C.12D.-12解析:如图,设 AB 的中点为 M,则 =()()=)
6、=-6.答案:B3.下列四个命题:若 a-b=0,则 a=b;若 ab=0,则 a=0 或 b=0;若 R 且 a=0,则=0 或 a=0;对任意两个单位向量 e1,e2,都有 e1e21.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析:是正确的;因为 ab=|a|b|cos=0|a|=0 或|b|=0 或 cos=0a=0 或 b=0 或=90,故是错误的;是正确的;中,e1e2=|e1|e2|cos=cos 1,故是正确的.答案:C4.设 a,b 是非零向量,xR,若函数 f(x)=(xa+b)(a-xb)的图像是一条直线,则必有()A.abB.abC.|a|=|b|D.|a|b|解析:f(x)
7、=-abx2+(a2-b2)x+ab.f(x)的图像是一条直线,ab=0,ab.答案:A5.导学号 03070103 在矩形 ABCD 中,AB=,BC=4,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若 ,则 的值是()A.-5-B.5+C.4+D.5-解析:如图所示,过点 F 作 FGAD 交 AB 于点 G,易知 =|cos=|=,故|=1,所以 =()()=0-(-1)+24+0=5+,故选 B.答案:B6.在 RtABC 中,C=90,AC=3,CB=4,设 =b,=a,=c,则 ab+bc+ca 的值为 .解析:由勾股定理得 BA=5,又 cos B=,cos A=,故 ab+
8、bc+ca=0+35(-)+45(-)=-25.答案:-257.导学号 03070104(2015 辽宁五校上学期期中)平面上三个向量 满足|=1,|=,|=1,=0,则 的最大值是 .解析:=()()=-()=1-|cos=1-2cos,其中 为向量 与 的夹角,当=时,取得最大值 3.答案:38.已知向量 a,b 的夹角为 30,且|a|=,|b|=1,求向量 p=a+b 与 q=a-b 夹角的余弦值.解:pq=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=-=-=1,设 p 与 q 的夹角为,cos=.9.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.证明:设平行四边形为 ABCD,则 =()2=+2 .由于 ,所以 ,=()2=-2 .由+,得 =2()=.即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
