1、2.2 二项分布及其应用同步检测一、选择题1.已知随机变量 X 服从二项分布)31,6(BX，则)2(XP=（）A163B 2434C 24313D 24380答案：D解析：解答：24380323124226CXP.分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布性质进行计算即可.2.导弹发射的事故率为 0.01，若发射 10 次，其出事故的次数为，则下列结论正确的是A.P(=k)=0.01k0.9910-k B.P(=k)=10kC0.99k0.0110-kC.E=0.1 D.D=0.1答案：C解析：解答：由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了 10 次
2、，所以可以认为是 10 次独立重复试验，故服从二项分布kkkCkP01.099.0)(1010,1.001.010)(npE,099.0)1()(pnpD，故 C.分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布与 n 次独立重复试验的模有关的知识点进行计算即可.3.在四次独立重复试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率相同，若事件 A 至少发生一次的概率为 6581，则事件 A 恰好发生一次的概率为()A.13B.23C.3281D.881答案：C解析：解答：设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p，则事件 A 在 4 次独立重复试验中，恰好发生 k 次
3、的概率为pk4kC pk(1p)4k(k0,1,2,3,4)，p004C p0(1p)4(1p)4，由条件知 1p0 6581，(1p)41681，1p 23，p 13.p114C p(1p)34 13(23)3 3281，故选 C.分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布与 n 次独立重复试验的模型进行逐一计算即可.4.一批产品 40是废品，而非废品中 75是一等品，从中任取一件是一等品的概率为（）A.0.96 B.0.75 C.0.04 D.0.45答案：D解析：解答：设任取一件不是废品为事件 A，任取一件是一等品为事件 B.则 P(A)=1-
4、04=06，P(B|A)=075.由)()()()()|(APBPAPABPABP，所以45.06.075.0)()|()(APABPBP分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率有关性质进行计算即可.5.已知随机变量)31,6(BX，则)2(XP（）A.B.C.D.答案：B解析：解答：因为006115661212473(2)1()()()()3333729P XCC.故选 B分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是二项分布与n 次独立重复试验的模型计算公式进行分析解决.6.设服从二项分布 B（n，p）的随机变量的期望和方差分别是 2
5、.4 与 1.44，则二项分布的参数 n、p 的值为A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1答案：B解析：解答：n=6,p=0.4若 XB（n,p），则 E（X）=np.即 np=2.4若 XB（n,p），则 D（X）=np(1-p).即 np(1p)=1.44则解出 p=0.4，n=6，故选 B。分析：本题主要考查了，解决问题的关键是7.在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为 09，09，08，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为
6、（）A0998 B0046 C0002 D0954答案：D解析：解答：设 Ak 表示“第 k 架武装直升机命中目标”k=1，2，3这里 A1，A2，A3 独立，且 P（A1）=09，P（A2）=09，P（A3）=08恰有两人命中目标的概率为P(A1A23A+A12A A3+1A A2A3)=P（A1）P（A2）P（3A）+P（A1）P（2A）P（A3）+P（1A）P（A2）P（A3）=090901+090108+010908=0306三架直升机都命中的概率为：090908=0648目标被摧毁的概率为：P=0306+0648=0954分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决
7、问题的关键是根据独立重复试验的模型进行具体分析计算即可.8.已知箱中共有 6 个球，其中红球、黄球、蓝球各 2 个每次从该箱中取 1 个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次设事件 A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件 B：“三次取到的球颜色都相同”，则(|)P B A（）A 16B 13C 23D1答案：B解析：解答：由题意11111111122222422211111166666633()(|),()CCCCCCCCCP A BP ACCCCCC，则()1()()3P ABP B AP A=，故选 B.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率
8、与独立事件公式进行计算即可.9.甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 32，则甲以1:3的比分获胜的概率为（）A 278B 8164C94D 98答案：A解析：解答：当甲以3:1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢 了 一 局，第 四 局 甲 赢，所 以 甲 以 3:1 的 比 分 获 胜 时 的 概 率 为2232224128()(1)333393327PC，故选 A.分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布与 n 次独立重复试验的模型公式计算即可.10.袋
9、中装有完全相同的 5 个小球，其中有红色小球 3 个，黄色小球 2 个，如果不放回地依次摸出 2 个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A 310B 35C 12D 14答案：C解析：解答：本题属于条件概率，设红色球为,A B C，黄色球为,D E，所以第一次摸出红球的情况有：,AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB CD CE 共 12 种，第一次第二次都摸到红球的情况有：,AB AC BC BA CA CB 共 6 种，所以61122P.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率与独立事件性质进行列示计算即可.11.有五
10、瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（）A 110B 17C 14D 15答案：C解析：解答：设A 其中一瓶是蓝色，=B另一瓶也是蓝色，则 14P B A.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率与独立事件概率性质计算即可.12.投掷红、蓝两个骰子，事件 A=“红骰子出现 4 点”，事件 B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则 P（A|B）=（）A.16B.13C.112D.12答案：A解析：解答：A、B 相互独立，P(AB)=P(A)P(B).P(A|B)=)()(BPABP=)()()(
11、BPBPAP=P(A)=16.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率与独立事件进行具体分析计算即可.13.甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P,乙射中目标的概率为2P，两人各射击 1 次，那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为()A21PP B21 PP C211PPD)1)(1(121PP答案：D解析：解答：因为，甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P,乙射中目标的概率为2P，两人各射击 1 次，那么甲、乙均射不中目标的概率就是)1)(1(121PP，所以，甲、乙至少有一个射中目标的概率为)1)(1(121PP，选 D.分析：本题
12、主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据独立事件概率公式进行计算即可.14.如图；现有一迷失方向的小青蛙在 3 处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在 5 处，跳动一次，只能进入 3 处，若在 3 处，则跳动一次可以等机会进入 l，2，4，5 处），则它在第三次跳动后，进入 5 处的概率是（）A 12B 13C 14D 16答案：C解析：解答：小青蛙的跳动路线：第一次跳动后由 3 到 1,2,4,5 的任意位置，第二次跳回 3，第三次跳回 5；依据相互独立事件同时发生的概率可知所求概率为11114444P .分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根
13、据独立事件概率公式进行计算即可.15.某学生解选择题出错的概率为0.1，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（）A.20.10.9B.3220.10.10.90.1 0.9C.31 0.9D.30.1答案：C解析：解答：首先考虑所求事件的对立事件：三道题全对的概率331 0.10.9，所以至少一道题目出错的概率为31 0.9.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据独立事件的概率公式计算即可.二、填空题16.箱中装有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖现有 4 人参与摸奖，恰好
14、有 3 人获奖的概率是_.答案：62596解析：解答：由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从 6 个球中摸出 2 个，共有2615C 种结果，两个球的号码之积是 4 的倍数，共有(1,4)，(3,4)，(2,4)，(2,6)，(4,5)，(4,6)，摸一次中奖的概率是15652，4 个人摸奖，相当于发生 4 次试验，且每一次发生的概率是 52，有 4 人参与摸奖，恰好有 3 人获奖的概率是6259653)52(334C.分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是二项分布与n 次独立重复试验的模型进行列示计算即可.17.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”
15、，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是 23，乙获胜的概率是 13，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为_答案：827解析：解答：甲三胜一负即前 3 次中有 2 次胜 1 次负，而第 4 次胜，PC32 232 13 23 827，甲三胜一负而结束的概率为 827.分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是二项分布与n 次独立重复试验的模型列式计算即可.18.某种电子元件用满 3000 小时不坏的概率为 34，用满 8000 小时不坏的概率为 12.现有一只此种电子元件，已经用满 3000 小时不坏，还能用满 8000 小时的概率是_答案：23解析：解答：
16、记事件 A：“用满 3000 小时不坏”，P(A)34；记事件 B：“用满 8000 小时不坏”，P(B)12.因为 BA，所以 P(AB)P(B)12，则 P(B|A)P ABP A1234 12 43 23.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率公式进行计算即可.19.一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是_答案：23解析：解答：一个家庭的两个小孩只有 4 种可能两个都是男孩，第一个是男孩，第二个是女孩，第一个是女孩，第二个是男孩，两个都是女孩，由题意知，这 4 个事件是等可能的设基本事件空间为，
17、A“其中一个是女孩”，B“其中一个是男孩”，则(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，A(男，女)，(女，男)，(女，女)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，P(B|A)P ABP A2434 23.分析：本题主要考查了条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率进行具体分析计算即可.20.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下
18、列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)52)(BP；115)|(1 ABP；事件 B 与事件1A 相互独立；1A，2A，3A 是两两互斥的事件；)(BP的值不能确定，因为它与1A，2A，3A 中究竟哪一个发生有关答案：解析：解答：若从甲罐取出红球放入乙罐，则5()11P B，115)|(1 ABP，若从甲罐取出的不是红球放入乙罐，则4()11P B，故错误，正确。显然事件 B 受事件1A 的影响，故错误。由于事件1A，2A，3A 不会同时出现，所以1A，2A，3A 是两两互斥的事件，故正确。)(BP的值不能确定，因为它与1A，2A，3A 中究竟哪一个发生有关，故正确.分析：本题主要考查了
19、条件概率与独立事件，解决问题的关键是根据条件概率与独立事件进行具体分析即可解决问题.三、解答题21.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-P，且各引擎是否出故障是独立的，已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行，飞机就能成功运行；2 引擎飞机中要 2 个引擎全部正常运行，飞机才能成功运行.要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全，则 P 的取值范围？答案：解：由题意，4 引擎飞机正常运行的概率为444334)1(PCPPC,2 引擎飞机正常飞行的概率为2P，所以444334)1(PCPPC2P，解得131 P.解析：分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解
20、决问题的关键是根据二项分布与 n 次独立重复试验的模型进行列式分析计算即可.22.有 10 道单项选择题，每题有 4 个选项。某人随机选其中一个答案（每个选项被选出的可能性相同），求答对多少题的概率最大？并求出此种情况下概率的大小.（保留两位有效数字）答案：解：设 X 为答对题的个数，则 XB(10,41),设 P(X=k)最大，则()1(1)()1(1)P XkP XkP XkP Xk，解得41147 k,所以 k=2所以答对 2 道题的概率最大，此概率为28.0)43()41(82210C.解析：分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布与 n
21、次独立重复试验的模型进行分析求得 k 值，然后运用公式计算即可.23.某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中任意地连续取出两件，写出次品数的概率分布列.答案：解答：设次品数为，B(2,5%),)2,1,0(,)05.01(05.0)(kCkPknkkn，所以分布列如下：次独立重复试验的模型解析：分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据012P0.90250.0950.0025二项分布与 n 次独立重复试验的模型结合具体分析计算即可.24.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有 5 发子弹，第一次
22、命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆。每次射击相互独立，且命中概率都是 32，求(1)油罐被引爆的概率;答案：解：“油罐被引爆”的事件为事件 A，其对立事件为 A 包括“一次都没有命中”和“只命中一次”，即 P(A)=C5415313132，P(A)=1-2432323131325415C(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为,求的分布列.答案：射击次数的可能取值为 2，3，4，5，P(=2)=94322P(=3)=C27832313212.P(=4)=C2743231.32.213P(=5)=C913131324314.故的分布列为：解析：分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独
23、立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布与 n 次独立重复试验的模型进行分析计算即可.25.“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为 31，乙组能使生物成活的概率为 21，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；答案：甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为2233331117()()(1)()33327P ACC；（2）如果乙小组成功了 4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次
24、连续失败的概率；答案：根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了 6 次试验，其中三次2345P9427827491成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为2412A 种，所以所求的概率为331113()12()()22232P B；（3）若甲乙两小组各进行 2 次试验，设试验成功的总次数为，求 的分布列答案：由题意 的取值为 0，1，2，3，400202221111(0)()(1)()3329PCC 111020021222221111111(1)()(1)()()(1)()3323323PCCCC 2200211112002222222221111111111
25、3(2)()(1)()()(1)()()(1)()33233233236PCCCCCC 220121112222221111111(3)()(1)()()(1)()3323326PCCCC 22022221111(4)()(1)()33236PCC，故 的分布列为01234P1913133616136解析：分析：本题主要考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是（1）“三次试验中至少两次试验成功”是指三次试验中，有 2 次试验成功或 3 次试验全部成功，先计算出 2 次与 3 次成功的概率，相加即可得到所要求的概率；（2）根据题意，乙小组在第四次成功前，共进行了 6 次试验，其中三次失败三次成功，且恰有两次连续失败，从而先确定共有多少种情况，进而由概率乘法公式进行计算即可得到答案；（3）先确定 的所有可能取值，然后由相互独立事件的概率乘法公式计算出各种取值的概率，列出分布列即可.
