1、2.5 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和主题1 等比数列的前n项和1.已知数列1,21,22,23,如何求其前64项和S64=1+21+22+23+263?提示:用2乘以等式的两边,得:2S64=21+22+23+263+264,作差得S64=264-1.2.参照1的求法,如何求等比数列an的前n项和Sn?提示:设等比数列an的首项是a1,公比是q,前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,则qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,由-得(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时,Sn=,当q=1时,Sn=na1.即Sn=结论:等比数列的前n项和公式Sn=或Sn
2、=【对点训练】1.等比数列an中,首项a1=8,公比q=,那么它的前5项的和S5的值是()A.B.C.D.【解析】选A.S5=.2.等比数列an中,a1=-1,a4=64,则数列an的前3项和S3=()A.13 B.-13C.-51 D.51【解析】选B.设公比为q,由题意,等比数列an中,a1=-1,a4=64,所以a4=-1q3=64,解得q=-4,所以数列an的前3项和S3=-13.3.已知单调递增的等比数列an中,a2a6=16,a3+a5=10,则数列an的前n项和Sn=()A.2n-2-B.2n-1-C.2n-1D.2n+1-2【解析】选B.因为a2a6=16,所以a3a5=16,
3、又因为a3+a5=10,等比数列an单调递增,所以a3=2,a5=8,所以公比q=2,a1=,所以Sn=2n-1-.主题2 等比数列前n项和的性质给定等比数列an:1,2,22,23,2n,1.计算an的前n项和Sn,观察前n项和有什么特点?提示:Sn=2n-1,Sn是由一个关于n的指数式与一个常数的和构成的.2.计算S4,S8,S12,并判断S4,S8-S4,S12-S8是否构成等比数列.提示:S4=24-1,S8=28-1,S12=212-1.S8-S4=28-24=24(24-1),S12-S8=212-28=28(24-1),所以=24.故S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.结论
4、:等比数列前n项和的性质(1)当q1时,Sn=,若设A=,则Sn=-Aqn+A,故Sn是由一个关于n的指数式和一个常数的和构成的,且指数式的系数与常数项互为相反数.(2)若等比数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成公比为qm的等比数列.【对点训练】1.等比数列an的前n项和Sn,S2=7,S6=91,则S4为()A.28B.32C.21D.28或-21【解析】选A.因为an为等比数列,所以S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,即7,S4-7,91-S4成等比数列,所以(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21.因为S4=a1+a2+a3+a4=a1
5、+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)S2,所以S4=28.2.已知Sn是等比数列an的前n项和,若S4=1,S8=3,则S12=_.【解析】由Sn为等比数列的前n项和,所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即(3-1)2=1(S12-3),所以S12=7.答案:73.在数列an中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和为Sn=3n+k,则实数k=_.【解析】方法一:当n=1时,a1=S1=3+k,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=3n-3n-1=23n-1.由已知知an为等比数列,所以a1=3+k=2,则k=-1.方
6、法二:由已知知,an是等比数列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,由=a1a3得18(3+k)=36,解得k=-1.答案:-1类型一 等比数列前n项和的运算【典例1】(2019成都高二检测)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=6,b2b4=a16.(1)求an的通项公式.(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.【解题指南】(1)由a1=1,a2+a4=6,可得公差d的值,可得等差数列an的通项公式.(2)由(1)中结论,可得b2b4=a16=16,可得q2=4,可得b2n-1是以1为首项,以q2=4为公比的等比数列,可得b1+b3+b5+b
7、2n-1的值.【解析】(1)由题意可知,a1=1,a2+a4=1+d+1+3d=6,解得,d=1,所以an的通项公式为an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)中结论,可得a16=16,所以b2b4=qq3=16,所以q2=4,所以b2n-1是以1为首项,以q2=4为公比的等比数列,通项公式为b2n-1=4n-1,所以b1+b3+b5+b2n-1=.【方法总结】等比数列前n项和公式的应用技巧(1)应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q=1或q1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.(2)当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;当q1时,等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已
8、知a1,q与n时,用Sn=比较方便;当已知a1,q与an时,用Sn=比较方便.【跟踪训练】(2019昆明高一检测)在公差不为零的等差数列an中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求an的通项公式.(2)设bn=,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知得=a1a5,则(a1+d)2=a1(a1+4d),将a1=1代入并化简得d2-2d=0,解得d=2,d=0(舍去).所以an=1+(n-1)2=2n-1.(2)由(1)知bn=22n-1,所以bn+1=22n+1,所以=22n+1-(2n-1)=4,所以数列bn是首项为2,公比为4的等比数列.所以Sn
9、=.【补偿训练】1.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.【解析】若q=1,则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但S3+S62S9,所以q1.由求和公式得,整理得q3(2q6-q3-1)=0.因为q0,所以2q6-q3-1=0.因为q1,所以q=-.2.在递增的等比数列an中,已知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和为Sn=42,则n=()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为a1+an=34,a1an=a3an-2=64,所以a1=2,an=32=a1qn-1,所以Sn=42,所以q=4,所以n=3.类型二 等比数列前n项和性质的简单应
10、用【典例2】(1)在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,则S3n=_.(2)已知等比数列an的前4项和为1,且公比q=2,求前12项的和.【解题指南】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列求S3n.(2)根据S4,S8-S4,S12-S8的关系求S12.【解析】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列得(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),所以S3n=63.答案:63(2)因为S4=1,q=2,所以S8-S4=a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16,解得S8=17.又因为S4,S8-S4,S12-S8成等
11、比数列,所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即162=S12-17,所以S12=273.【方法总结】等比数列前n项和性质应用的关注点(1)在解决等比数列前n项和问题时,若条件含有奇数项和与偶数项和的时候,如果项数为偶数,可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解.(2)当已知条件含有片段和时,要考虑性质Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列.【跟踪训练】设等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=50,则S20等于()A.90B.250C.210D.850【解析】选D.由已知,数列的公比q1,设首项为a1,因为S5=10,S10=50,所以=10,=50,两式相除可得
12、1+q5=5,所以q5=4,S20=【补偿训练】各项都是正数的等比数列an,前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,求S40.【解析】由题意知q1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10,即q20+q10-6=0,得q10=2或q10=-3(舍),所以S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.类型三 等比数列前n项和公式的实际应用【典例3】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生
13、态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第1年)总投入Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式.(2)至少要经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【解题指南】(1)转化为两个等比数列前n项和问题求解.(2)只需求出TnSn的最小正整数n即可.【解析】(1)第1年投入800万元,第2年投入800万元,第n年投入800万元.所以,n年内的总投入Sn=800+800 +800 =4 000 .第1年旅游业收
14、入为400万元,第2年旅游业收入为400万元,第n年旅游业收入为400万元.所以,n年内的总收入Tn=400+400+400 =1 600 .(2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,因此Tn-Sn0,即1 600 -4 000 0,化简得5 +2 -70,即 ,可得n5.所以,至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.【方法总结】解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下:【跟踪训练】
15、九章算术中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()(结果精确到0.1.参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1.)A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天【解析】选C.设蒲的长度组成等比数列an,其a1=3,公比为,其前n项和为An,则An=.莞的长度组成等比数列bn,其b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.则Bn=,由题意可得:=,整理得:2n+=7,解得2n=6,或2n=1(舍去).所以n=log26=1+2.6.所以估计2.6天蒲、莞长度相等.【补偿训练】九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞之和,则Sn=尺.【解析】大老鼠每日打洞的距离是首项为1,公比为2的等比数列,小老鼠每日打洞的距离是首项为1,公比为的等比数列,故Sn=.答案:【知识思维导图】
