1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1了解任意角的概念和弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义考向预测考情分析：任意角三角函数的定义及应用是高考考查的热点，题型以选择题或填空题为主学科素养：通过弧度制及三角函数定义的应用考查数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养积 累 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为_、_、_按终边位置不同分为_和轴线角(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S
2、|k360，kZ提醒终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1180 rad1 rad_弧长公式弧长l_扇形面积公式S_提醒利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么_叫做的正弦，记作sin _叫做的余弦，记作cos _叫做的正切，记作tan 各象限符号_口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段_为正弦线有向线段_
3、为余弦线有向线段_为正切线二、必明3个常用结论1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin yr，cos xr，tan yx(x0)3象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)角k3(kZ)是第一象限角()(3)若sin sin 7，则7.()(4)300角与60角的终边相同()(5)若A|2k，kZ，B|4k，kZ，则AB.()(二)教材改编2必
4、修4P5练习T3改编角870的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3必修4P20习题A组T2改编已知角的终边过点P(8m，3)，且cos 45，则m的值为()A12 B12 C32 D32(三)易错易混4(不同象限三角函数值的符号不同)当为第三象限角时，sinsin-coscos+tantan的值是_5(公式中角的单位不是度而是弧度)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为_，由该弧及半径围成的扇形的面积为_(四)走进高考62020全国卷若为第四象限角，则()Acos 20 Bcos 20 Dsin 20提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考点一象限角及终边相同的角基础
5、性1与角6终边相同的角是()A56B116C3D232集合|k+4k+2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()32022赤峰二中检测若角的终边与240角的终边相同，则角2的终边所在象限是()A第二或第四象限B第二或第三象限C第一或第四象限D第三或第四象限4若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为()A=2k-4，kZB=2k+34，kZC=k-34，kZD=k-4，kZ反思感悟1表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合2象
6、限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(00)”，其它不变，求解？反思感悟弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l|r，扇形的面积公式是S12lr12|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量提醒运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制【对点训练】12022扬州市测试如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为2R3，则A，B两点间的距离为()A.RB2RC3RD2R2已知一
7、扇形的弧长为29，面积为29，则其半径r_，圆心角_3.2022湖南永州市高三模拟如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为302米，则该月牙潭的面积为_平方米考点三任意角三角函数的定义及应用应用性角度1三角函数的定义例2(1)2022宁夏高三模拟已知角终边经过点P(1，2)，则cos ()A12B12C55D55(2)2022广东广州市高三模拟已知第二象限角的终边上有两点A(1，a)，B(b，2)，且cos 3sin 0，则3ab()A7 B5 C5 D7听课笔记：反思感悟三角函
8、数定义应用策略(1)已知角的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解(2)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(3)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解(4)已知角的某三角函数值(含参数)或角终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值(5)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标角度2三角函数值符号的判断例3(1)2022昆明市盘龙月考若sin20cos0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限
9、角 D第四象限角(2)已知为第二象限角，则2sin1-cos2+1-sin2cos的值是()A3 B3 C1 D12听课笔记：反思感悟三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.角度3三角函数线的应用例4函数ylg (2sin x1)1-2cosx的定义域为_听课笔记：反思感悟应用三角函数线解决问题的思路三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负.【对点训练】1已知角的终边在
10、直线yx上，如果cos cos x成立的x的取值范围为_第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数积累必备知识一、1(1)端点(2)正角负角零角象限角2(1)半径长180|r12lr12|r23yxyx正正正正负负负负正负正负MPOMAT三、1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：8702360150，870和150的终边相同，所以870的终边在第三象限答案：C3解析：由已知得m0且8m8m2+3245，解得m12.答案：A4解析：因为为第三象限角，所以sin 0，cos 0，所以sinsin-coscos+tantan1(1)11.答案：15解析：单位圆的半径r1，
11、200的弧度数是200180109，由弧度数的定义得109lr，所以l109，S扇形12lr12109159.答案：109596解析：方法一是第四象限角，22k2k，kZ，4k24k，kZ，角2的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，sin 20，cos 2可正、可负、可零方法二是第四象限角，sin 0，sin 22sin cos 0.答案：D提升关键能力考点一1解析：因为与角6终边相同的角是62k(kZ)，当k1时62k116.答案：B2解析：当k2n(nZ)时，2n42n2，此时表示的范围与42表示的范围相同；当k2n1(nZ)时，2n42n2，此时表示的范围与42表示的范围相同答案：C3解
12、析：由题意k360240，所以2k180120，kZ，当k为偶数时，2在第二象限，当k为奇数时，2在第四象限答案：A4解析：由图知，角的取值集合为：=2k+34，kZ=2k-4，kZ=2k+1-4，kZ=2k-4，kZ=k-4，kZ.答案：D考点二例1解析：(1)603 rad所以lR310103(cm)(2)由题意得2R+R=10，12R2=4，解得R=1，=8(舍去)或R=4，=12.故扇形的圆心角为12.(3)由已知，得l2R20，所以扇形的面积S12lR12(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5时，S取得最大值25，此时l10，2.一题多变解析：扇形周长C2Rl2RR，所以
13、RC2+，所以S扇12R212C2+2C2214+4+2C2214+4+C216.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值C216.对点训练1解析：设AB所对的圆心角为，则由题意，得R23R，所以23，所以AB2R sin 22R sin 32R323R.答案：C2解析：因为扇形的弧长为29，所以面积291229r，解得r2.由扇形的弧长为29r2，解得9.答案：293.解析：如图是内堤岸圆弧所在圆，由题意OAOB30，AB302，所以OAOB，弦AB上方弓形面积为S214302123030225450，所以所求面积为S12(152)2S2225(225450)450.答案：450考点三例2解析
14、：(1)由三角函数定义cos -1-12+2255.(2)由cos 3sin 0得：tan sincos13，由三角函数定义知：tan a2b13，解得：a13，b6，3ab167.答案：(1)D(2)D例3解析：(1)因为sin 22sin cos 0，又cos 0，所以是第二象限角(2)由题意，2sin1-cos2+1-sin2cos2sinsin+coscos，因为为第二象限角，所以sin 0，cos 01-2cosx0即sinx12cosx12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，解集为2k+6x2k+56，kZ，2k+3x2k+53，kZ，取交集可得原函数的定义域为2k+3，2k+56，(kZ)答案：2k+3，2k+56，(kZ)对点训练1解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan yx-xx1.答案：12解析：由2，得cos 0，所以rx2+y29cos2+16cos25cos，所以sin yr45，tan yx43.答案：45433解析：如图所示，找出在(0，2)内，使sin xcos x的x值，sin 4cos 422，sin 54cos 5422.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x4，54.答案：4，54
