1、微专题15圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题真 题 感 悟(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_.解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线间的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.答案考 点 整 合1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表
2、示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等.(1)椭圆中的最值F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有OPb，a；PF1ac，ac；PF1PF2b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有OPa；PF1ca.3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及
3、焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点；若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围.如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点
4、的探究与证明【例1】 (2019北京卷)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若OMON2，求证：直线l经过定点.(1)解由题意，得b21，c1，所以a2b2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而OM|xM|.同理，ON.由得(12k2)x24ktx2t220，则16k28t280，此时解方程易得x1x2，x
5、1x2.所以OMON2.又OMON2，所以22.解得t0(满足0)，所以直线l经过定点(0，0).探究提高(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常联立直线和椭圆方程，消去y(或x)建立一元二次方程，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.(3)圆锥曲线中直线过定点问题的两种解法：引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；特殊到一般法：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该点与变量无关.【训练1】 (2019南通模拟)如图，已知A，B是椭圆1的长轴顶点，P，Q是椭
6、圆上的两点，且满足kAP2kQB，其中kAP，kQB分别为直线AP，QB的斜率.(1)求证：直线AP和BQ的交点R在定直线上；(2)求证：直线PQ过定点.证明(1)根据题意，可设直线AP的方程为ykAP(x2)，直线BQ的方程为ykQB(x2)，又kAP2kQB，则直线AP和BQ的交点R的横坐标x0满足2，即x06.因此直线AP和BQ的交点R在定直线x6上.(2)由(1)，可设点R的坐标为(6，m)，则直线AP的方程为y(x2)，直线BQ的方程为y(x2)，联立方程得(m212)x24m2x4(m212)0，解得x12，x2.设P(xP，yP)，则xP，代入直线AP的方程得，yP，故P.联立方
7、程得(m248)x24m2x4(m248)0，解得x12，x2.设Q(xQ，yQ)，则xQ，代入直线BQ的方程得，yQ，故Q.当，即m224时，直线PQ与x轴垂直，与x轴的交点为T；当，即m224时，kPTkQT0，所以直线PQ过点T.综上，直线PQ过定点T.热点二定值的探究与证明【例2】 (2019镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，左焦点F(2，0)，直线l：yt与椭圆交于A，B两点，M为椭圆E上异于A，B的点.(1)求椭圆E的方程；(2)若M(，1)，以AB为直径的圆P过点M，求圆P的标准方程；(3)设直线MA，MB与y轴分别相交于点C，D，证明
8、：OCOD为定值.(1)解因为e，且c2，所以a2，b2.所以椭圆方程为1.(2)解设A(s，t)，则B(s，t)，且s22t28.因为以AB为直径的圆P过点M，所以MAMB，所以0，又(s，t1)，(s，t1)，所以6s2(t1)20.由解得t或t1(舍，因为M(，1)，所以t0)，所以s2.又圆P的圆心为AB的中点(0，t)，半径为|s|，所以圆P的标准方程为x2.(3)证明显然直线MA，MB的斜率均存在.设M(x0，y0)，A(s，t)，B(s，t)，则lMA的方程为yy0(xx0)，令x0得yC；同理yD，所以OCOD|yCyD|.因为s22t28，x2y8，所以4为定值，即OCOD为
9、定值4.探究提高定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.【训练2】 (2012江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0).已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.()若AF1BF2，求直线AF1的斜率；()求证：PF
10、1PF2是定值.解(1)由题设知a2b2c2，e，由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21，又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由得(m22)y2my110，解得y1，故AF1.同理，BF2.()由得AF1BF2，解得m22，注意到m0，故m.所以直线AF1的斜率为.()证明因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，故PF1BF1.由B点在椭圆上知BF1BF
11、22，从而PF1(2BF2).同理PF2(2AF1).因此，PF1PF2(2BF2)(2AF1)2.又由知AF1BF2，AF1BF2，所以PF1PF222.因此，PF1PF2是定值.热点三最值与范围问题【例3】 (2019宿迁调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.当直线PA的斜率为时，求FMN的外接圆的方程；设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值.解(1)由题意，得解得则b2，
12、所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题可设直线PA的方程为yk(x4)，k0，则M(0，4k)，可得MF的斜率为kMFk.因为MFFN，所以直线FN的斜率kFN，所以直线FN的方程为y(x2)，则N.当直线PA的斜率为，即k时，M(0，2)，N(0，4)，F(2，0).因为MFFN，所以圆心为(0，1)，半径为3，所以FMN的外接圆的方程为x2(y1)29.联立消去y并整理得(12k2)x216k2x32k2160，解得x14或x2，所以P，直线AN的方程为y(x4)，同理可得Q，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点.所以APQ的面积SOA(yPyQ)28，当且仅当2k，即k时，取等号.所以AP
13、Q的面积的最大值为8.探究提高(1)处理求最值(范围)的式子常用两种方式：转化为函数求最值(范围)，利用函数的图象求解；转化为能利用基本不等式求最值(范围)的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值(范围)；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(范围)(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练3】 (2019浙江卷)如图，已知点F(1，0)为抛物线y22px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧.记AFG，CQG的面积分别为S1
14、，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标.解(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG).令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，解得y12t，y2.故yB，所以B.又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，得2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21，0).由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.故当m时，取得最小值1，此时
15、G(2，0).【新题感悟】 (2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.解(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，PF2c，PF1c，于是2aPF1PF2(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以
16、c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，).一、填空题1.已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_.解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0).由得x.设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0).于是直线QG的斜率为，方程为y(xu).由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的
17、斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形.解由得PQ2u，PG，所以PQG的面积SPQPG.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.11.(2019南京市高三一模)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心、3为半径的圆与以F2为圆心、1为半径的圆的公共点恰在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C上一动点P(x0，y0)(x00)的直线记为l：1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2设直线l与直线l1相交于点M，直
18、线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值；若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点为A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1k2的取值范围.解(1)由题意知2a4，则a2，又，a2c2b2，可得c1，b23.椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知l1：x1，l2：x4.由与可求得M，N，则.故为定值.由题意知点P(x0，y0)，横坐标满足1x02，又F1(1，0)，PF1的方程为y(x1)，与l2的方程x4联立，得点Q，从而k2kQA，又k1kPA，k1k2.点P在椭圆C上，1，y3(2x0)(2x0)，k1k2.1x02，k1k2.k1k2的取值范围是.
