1、专题检测（十五） 立体几何中的向量方法A卷夯基保分专练1(2017惠州三调)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA2，侧面积为8，AOP120.(1)求证：AGBD；(2)求二面角PAGB的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知822AD，解得AD2.作PEAB，垂足为E，OPOA2，AOP120，EOP60，PE，OE1，AEAOOE3.则A(0,0,0)，B(0,4,0)，D(0,0，2)，P(，3,0)，G是DP的中点，G.(1)证明：(0，4,2)，.(0，4,2)0，即AGBD.(2)(，1,0)，0
2、，0，是平面APG的法向量设n(x，y,1)是平面ABG的法向量，由则解得n(2,0,1)，则cos，n.由图知，二面角PAGB为锐角，二面角PAGB的余弦值为.2(2017北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD
3、的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为底面ABCD是正方形，所以OEAD.以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z.于是n(1,1，)又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题知二面角BPDA为锐角，所以二面角BPDA的大小为60.(3
4、)由题意知M，C(2,4,0)，则.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |cosn，|.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.3(2017安徽名校阶段性测试)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，BCAD，ABAD，且ABBC1，AD2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PAPD.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)若直线AC与PD所成角为60，求二面角APCD的余弦值解：(1)证明：PH平面ABCD，AB平面ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD平面PAD，PH平面PAD，AB平面PAD.又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立如图
5、所示的空间直角坐标系Axyz，PH平面ABCD，z轴PH.则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设AHa，PHh(0a0)则P(0，a，h)(0，a，h)，(0，a2，h)，(1,1,0)PAPD，a(a2)h20.AC与PD所成角为60，|cos，|，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a0，h1，P(0,1,1)(0,1,1)，(1,1,0)，(1,0，1)，(1，1,0)，设平面APC的法向量为n(x1，y1，z1)，则即令x11，得y11，z11，所以平面APC的一个法向量为n(1，1,1)，设平面DPC的法向量为m(x2，y2，z2)由即令x21，得y21，z21
6、，所以平面DPC的一个法向量为(1,1,1)cosm，n.二面角APCD的平面角为钝角，二面角APCD的余弦值为.4(2017成都一诊)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD的中点，点R在线段BH上，且(0)现将AED，CFD，DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B(该点记为P)，如图所示(1)若2，求证：GR平面PEF；(2)是否存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由题意，可知PE，PF，PD三条直线两两垂直PD平面PEF.在图中，E，F分别是AB，BC的中
7、点，G为BD的中点，EFAC，GDGB2GH.在图中，2，且2，在PDH中，GRPD.GR平面PEF.(2)由题意，分别以PF，PE，PD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.设PD4，则P(0,0,0)，F(2,0,0)，E(0,2，0)，D(0,0,4)，H(1,1,0)，(1,1,0)，R.(2，2,0)，(0,2，4)，设平面DEF的法向量为m(x，y，z)，由得取z1，得y2，x2，则m(2,2,1)直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，|cos m，|.921870.解得或(不合题意，舍去)故存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为.B卷大题增
8、分专练1.(2017山东高考)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解：(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,
9、0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图知二面角EAGC为锐角，故所求二面角EAGC的大小为60.2(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E
10、是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又CE平面PAB，BF平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z
11、20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角MABD为锐角，因此二面角MABD的余弦值为.3.如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求证：AD平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为，试求的最小值解：(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2.BD2AB2AD22ABADcos 603.AB2AD2BD2，
12、ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.(2)由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP(0)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1)设n1(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得取y1，则n1(，1，)n2(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，cos .0，当时，cos 有最大值，的最小值为60.4.(2018届高三湖北五校联考)如图，在
13、四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由ADCD2，BC4，可得ABAC4，所以BC2AB2AC2，所以BAC90，即ABAC，因为PA平面ABCD，所以PAAB，又PAACA，所以AB平面PAC，所以ABPC.(2)存在，理由如下：取BC的中点E，则AEBC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0,2)，B(2，2，0)，(0，2，2)，(2，2，0)设t (0t1)，则点M的坐标为(0,2t，22t)，所以(0,2t,22t)设平面MAC的法向量是n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z，则n.又m(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|，解得t，即点M是线段PD的中点此时平面MAC的一个法向量n(1，1，)，又(2，3，1)设BM与平面MAC所成的角为，则sin |cosn，|.故BM与平面MAC所成角的正弦值为.
