1、加练课5 离心率的求解学习目标1.会求椭圆与双曲线的离心率.2.进一步学习和掌握椭圆与双曲线的几何性质.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.椭圆越圆,椭圆的离心率越趋近于1.( )2.等轴双曲线的离心率为2.( )3.椭圆的离心率和双曲线的离心率取值范围相同.( )二、夯实基础，自我检测4.已知椭圆C：x2a2+y24=1(a0)的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案：C解析：椭圆C：x2a2+y24=1(a0)的一个焦点为（2,0）,即c=2 ,由a2-4=4 ,解得a=22,e=ca=222=22 .5.（2020重庆南开中学高二期中）已知
2、双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与直线y=2x-3平行,则双曲线的离心率为( )A.2B.5C.6D.5答案：B解析：易知双曲线的渐近线方程为y=bax ,因为渐近线与直线y=2x-3平行,所以ba=2 ,则e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+22=5 ,即双曲线的离心率为5 .6.（2020山东临沂卧龙中学高二月考）设椭圆x2m2+y2m2-1=1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2-12 D.34答案：B解析：设椭圆的半长轴长为a ,半短轴长为b ,半焦距为c,由题意知,2a=1+3=4 ,
3、故a=2 ,即m2=4,b2=m2-1=3 ,故c=a2-b2=1 ,则e=ca=12 .互动探究关键能力探究点一直接求出a,c或求出a与b的比值,以求解e精讲精练例（1）（2020山东烟台高二期中）已知A、B为椭圆的左、右顶点,F为左焦点,点P为椭圆上一点,且PFx轴,过点A的直线与线段PF交于M点,与y轴交于E点,若直线BM经过OE的中点,则椭圆的离心率为( )A.12 B.12 C.13 D.63（2）圆M：(x-m)2+y2=4与双曲线C：y2a2-x2b2=1(a0,b0)的两条渐近线相切于A、B两点,若|AB|=2 ,则C的离心率为( )A.233 B.3 C.2 D.3答案：（1
4、）C（2）A解析：（1）由题意可设F(-c,0),A(-a,0) ,B(a,0) ,直线AE的方程（由题知斜率存在）为y=k(x+a) ,令x=-c ,可得M(-c,k(a-c) ,令x=0 ,可得E(0,ka) ,设OE的中点为H ,则H(0,ka2) ,由B,H,M三点共线,得kBH=kBM ,即ka2-a=k(a-c)-c-a ,即a=3c ,则e=ca=13 ,故选C.（2）如图所示,|AB|=2,|MA|=|MB|=2 ,所以ABM是等边三角形,根据对称性可知A,B两点关于x轴对称,所以AMO=30 ,因为OAAM ,所以AOM=60 ,则渐近线的斜率k=tan60=ab=3 ,所以
5、ba=33,所以e=ca=1+b2a2=233 .解题感悟（1）对于椭圆,根据题意求出a,b,c的值,再由e2=c2a2=a2-b2a2=1-(ba)2求解；（2）双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助e2=c2a2=a2+b2a2=1+(ba)2求解.迁移应用1.已知直线l:x+y-1=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点和上顶点,则椭圆的离心率为( )A.2-12 B.2-1 C.12 D.22答案：D解析：椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为(c,0) ,上顶点为(0,b) ,将两点坐标分别代入直线l的方程,得c=1,b=1,所以e=ca=
6、cb2+c2=22 ,故选D.探究点二构造a,c的齐次式,解出e精讲精练例已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0) ,焦距为2c ,直线l:y=24x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c ,则椭圆C的离心率为( )A.32 B.34 C.12 D.14答案：A解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x0,y0),y0=24x0,|AB|=2c,|OA|=x02+y02=c ,即x02+(24x0)2=c ,解得x0=223c,A(223c,13c),点A在椭圆上,(223c)a22+(13c)b22=1,又b2=a2-c2,e=ca,8e4-18e2+9=0,即(4e2-3)
7、(2e2-3)=0,e2=34或e2=32,又0e1,e=32 .解题感悟本题考查离心率的求法,解题的关键是把题中的基本量a,c表示出来,然后建立a,c间的关系式,再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程,常见的方法就是方程左、右两边同除以一个参数的最高次项,即可转化成一个一元二次方程,化简的运算能力是解决此题的关键.迁移应用1.（2020重庆八中高二月考）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) ,点A、F分别为其右顶点和右焦点,且B1(0,b),B2(0,-b) ,若kB1FkB2A=-1 ,则双曲线的离心率为( )A.1+5 B.5-12 C.5+12 D.5-1答案：C解析：
8、依题意知A(a,0),F(c,0),故kB1FkB2A=-bcba=-1,即b2=ac,即c2-a2=ac,两边同时除以a2得e2-e-1=0,因为e1,所以e=1+52 .2.已知P为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且PF2F1F2,PF1与y轴交于Q点,O为坐标原点,若四边形OF2PQ有内切圆,则C的离心率为 .答案：2解析：设|OF2|=c,可得P(c,b2a) ,则四边形OF2PQ的内切圆的圆心为(c2,c2) ,半径为c2,F1(-c,0) ,直线PF1的方程为b2x-2acy+b2c=0 ,易知圆心到直线PF1的距离等于c2 ,
9、即|b2c2-2acc2+b2c|b4+4a2c2=c2 ,又b2=c2-a2,2c2-3ac-2a2=0 ,即2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-12,e1,e=2 .探究点三利用焦点三角形求离心率精讲精练例（1）设F1,F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,PF1F2=30 ,则椭圆的离心率为( )A.33 B.36 C.13 D.16（2）如图,F1和F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,A和B是以O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则双曲线的
10、离心率为 .答案：（1）A（2）3+1解析：（1）设PF1的中点为M ,连接PF2 (图略).因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线,所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90 .因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|,|F1F2|=3|PF2| .由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2| ,即a=3|PF2|2 ,2c=|F1F2|=3|PF2|,即c=3|PF2|2 ,则e=ca=3|PF2|223|PF2|=33 .（2）如图,连接AF1 ,由F2AB是等边三角形,知AF2F1=30.易知AF1F2为直角三角形,则|AF1|=12|F1F2|
11、=c,|AF2|=3c，|AF2|-|AF1|=2a,2a=(3-1)c,a=(3-1)c2双曲线的离心率e=ca=3+1 .解题感悟涉及焦点三角形的题目一般都是利用圆锥曲线的定义找a,b,c的关系求解.迁移应用1.（2020成都外国语学校高二月考）设F1,F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使|OP|=|OF1|(O为坐标原点),且|PF1|=3|PF2| ,则双曲线的离心率为( )A.2+1 B.3+1C.6+1 D.3+12答案：B解析：因为|OP|=|OF1|=|OF2| ,所以OF1P=OPF1,OF2P=OPF2 ,所以
12、OF1P+OF2P=OPF1+OPF2=F1PF2,所以-F1PF2=F1PF2,即F1PF2=2 .因为|PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=(3+3)a,|PF2|=(3+1)a,又因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以(3+3)2a2+(3+1)2a2=(2c)2,所以(16+83)a2=4c2,所以(4+23)a2=c2,所以(3+1)a=c,所以离心率e=ca=3+1 .探究点四求离心率的取值范围精讲精练例（1）已知F是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,P是双曲线的左顶点,过点F且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点
13、,若APB2 ,则双曲线的离心率e的取值范围为( )A.(1,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,3)（2）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为坐标原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2 ,且它们在第一象限的交点为P,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10 ,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),求椭圆的离心率的取值范围.答案：（1）A解析：（1）由题可知APB为等腰三角形,若APB2 ,只需APF4 ,即|AF|PF| ,因为|AB|=2b2a ,所以|AF|=b2a,又|PF|=a+c,所以b2aa+c,所以b2a2+ac,即c2-a2a2+ac,所以c2
14、-ac-2a20,可得e2-e-20,又e1,所以1e2 .即e的取值范围为（1,2） .答案：（2）设椭圆的半长轴长、半焦距分别为a1,c，双曲线的半实轴长、半焦距分别为a2,c,|PF1|=m,|PF2|=n ,则m+n=2a1,m-n=2a2,m=10,n=2ca1=5+c,a2=5-c由1c5-c2 ,知125-cc1，即325c2，所以525c+13 ,即525+cc3 ,所以13c5+c25 ,即13ca125 ,故椭圆的离心率的取值范围为(13,25) .解题感悟求圆锥曲线离心率的取值范围的常用方法：（1）利用题目条件所给的不等关系,转化为离心率的取值范围.（2）利用焦半径的范围
15、或椭圆、双曲线上点的坐标的范围,得到a与c的不等式,从而求得离心率的范围.迁移应用1.若直线y=2x与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有交点,则双曲线的离心率的取值范围为( )A.(1,5)B.(5,+)C.(1,5 D.5,+)答案：B解析：双曲线的两条渐近线中,斜率为正的渐近线方程为y=bax ,由双曲线与直线y=2x有交点知,ba2 ,故e=ca=a2+b2a2=1+(ba)25 ,故选B.2.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|2|PF2|的最小值为8a ,则双曲线的离心率e的取值范围为( )A.(1,3 B.(1,3C.(3,3
16、D.(3,+）答案：A解析：设|PF2|=m(mc-a) ,则由双曲线的定义知|PF1|=2a+m ,所以|PF1|2|PF2|=(2a+m)2m=4a2m+4a+m4a+24a2mm=8a ,当且仅当m=2a时,等号成立,所以c-a2a ,即c3a .所以1e=ca3 .评价检测素养提升1.已知椭圆的短轴长是焦距的2倍,则椭圆的离心率为( )A.12 B.22C.15 D.55答案：D2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2 ,点A在双曲线上,且AF2x轴,若|AF1|AF2|=53 ,则双曲线的离心率等于( )A.52 B.62C.2D.3答案：C3.已知O,F分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的中心和右焦点,以OF为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点(A ,B异于原点O) ,若|AB|=3b ,则双曲线C的离心率e为( )A.2B.2C.233 D.3答案：C4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2 ,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1| ,则双曲线的离心率的最大值为( )A.43 B.53C.2D.73答案：A
