1、第9讲函数模型及其应用一、知识梳理1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不
2、同常用结论1“对勾”函数形如f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，)和(，)上是增加的，在，0)和(0， 上是减少的(2)当x0时，x时取最小值2，当x0时，x时取最大值2.2解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错(2)解应用题建模后一定要注意定义域(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案二、教材衍化1在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.99
3、2.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x解析：选D.根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图
4、可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为(406030305060)45(万元)，故D错误3用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析：设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则yx2x(6x)2(x3)218，所以当x3时，y最大答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数增长比直线增长更快()(2)不存在x，使axx1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a1)的增长速度()(4)“指数爆炸”
5、是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；(2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准1已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)解析：选B.由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)故选B.2生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x
6、万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析：利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：183某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_解析：由题意可得y答案：y应用所给函数模型解决实际问题(师生共研) (1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位
7、：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170 pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元(2)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元【解析】(1)设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0
8、，30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.【答案】C角度三构建函数yax(a0，b0)模型 某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少【解】设该养殖场x(xN+)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.0
9、36(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)63x23x(元)从而有y(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10时，y有最小值故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少角度四构建分段函数模型 某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净
10、收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3，因为x为整数，所以3x6，xZ.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.所以yf(x)(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x1153(6x20，xZ)，当x11时，ymax270. 因为270185，所以当每辆自行车的日租金定为1
11、1元时，才能使一日的净收入最多构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 1某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%0.1%，即，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.答案：82大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用10
12、0元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)则总利润最大时，该门面经营的天数是_解析：由题意，总利润y当0x400时，y(x300)225 000，所以当x300时，ymax25 000；当x400时，y60 000100x6，则x65.因为年利润10%，所以该企业要考虑转型解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌
13、现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均为常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6.求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是0，5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此类推)；为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)x(xq)2p.(2)对于f(x)x(xq)2p，由f(0)4
14、，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)因为f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌 基础题组练1(2020湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2018年10月1日1235 0002018年10月15日6035 600(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A
15、6升B8升C10升 D12升解析：选C.因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为10(升)故选C.2某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A118元 B105元C106元 D108元解析：选D.设进价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.故选D.3素数也叫质数，法国数学家马林梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数已知第20个梅森素数为P24 423
16、1，第19个梅森素数为Q24 2531，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 20.3)()A1045 B1051C1056 D1059解析：选B.由题知2170.令2170k，则lg 2170lg k，所以170lg 2lg k又lg 20.3，所以51lg k，即k1051，所以与最接近的数为1051.故选B.4由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准(GB/T195222010)于2011年7月1日正式实施车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的
17、“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 152.71，ln 303.40)()车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100 mL)饮酒后驾车20，80醉酒后驾车80A5 h B6 hC7 h D8 h解析：选B.由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e0.5x145.42，取整数，故为6个小时故选B.5加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常
18、数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，因此有解得故p0.2t21.5t2，其对称轴方程为t3.75.所以当t3.75时，p取得最大值6某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元销售额x为64万元时，奖励4万元若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为_万元解析：依题意得，即解得a2，b2.所以y2log4x2，当y8时，即2
19、log4x28.解得x1 024(万元)答案：1 0247某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是_解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4，8答案：4，88(2020河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元解
20、析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4，化简得x60.9x0.令f(x)x60.9x，易得f(x)为增函数，又f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元答案：49声强级Y(单位：分贝)由公式Y10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)(1)平常人交谈时的声强约为106W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为
21、5107W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为106W/m2时，由公式Y10lg得Y10lg10lg 10660(分贝)(2)当Y0时，由公式Y10lg得10lg0.所以1，即I1012W/m2，则常人能听到的最低声强为1012W/m2.(3)当声强为5107W/m2时，声强级Y10lg10lg(5105)5010lg 5，因为5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表
22、示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解：(1)如图，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x10，所以当x4，8时，S(x)是增加的，所以当x8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米综合题组练1(2019高考全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与
23、探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设，由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A.RBRC.RDR解析：选D.由(Rr)，得M1.因为，所以(1)M1，得.由33，得33，即3，所以r R，故选D.2.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到100 ，水温y()与时间t(min)近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度
24、y()与时间t(min)近似满足的函数关系式为y80b(a，b为常数)通常这种热饮在40 时口感最佳某天室温为20 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为()A35 min B30 minC25 min D20 min解析：选C.由题意知，当0t5时，函数图象是一条线段；当t5时，函数的解析式为y80b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得解得a5，b20，故函数的解析式为y8020，t5.令y40，解得t25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.3新修的个人所得税法在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意
25、的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪收入减去5 000 元后的余额级数全月应纳税所得额税率1不超过3 000元的部分3%2超过3 000元至12 000元的部分10%3超过12 000元至25 000元的部分20%某企业员工今年10月份的月工资为15 000元，则应缴纳的个人所得税为_元解析：由企业员工今年10月份的月工资为15 000元知，其个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为(15 0005 0003 000)10%3 0003%70090790(元)答案：7904某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x
26、(万元)之间的函数关系为y1(x0)已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为_万元解析：由题意，产品的生产成本为(30y4)万元，销售单价为150%50%，故年销售收入为zy45y6x.所以年利润Wz(30y4)x15y217(万元)所以当广告费为1万元时，即x1，该企业甲产品的年利润为1731.5(万元)答案：31.55已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还
27、需另投入16万美元设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解：(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W(2)当040时，W16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以此时W的最大值为5 760.综合知，当x32时，W取得最大值为6 104万美元6食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，
28、为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)804150120277.5(万元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，则t2，6，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元
