1、第7讲不等式的恒成立与存在性问题1.在ABC中,已知C=120,sin B=2sin A,且ABC的面积为23,则AB的长为.2.(2019扬州中学检测,5)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的值为.3.已知函数y=3sin2x+4,x0,2的单调增区间为0,m,则实数m的值为.4.已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为.5.(2019如皋一模,7)已知变量x,y满足约束条件|2x+y-2|1,x0,y0,则x-2y+1的最大值为.6.(2019扬州中学检测,8)已知tan(+)=1,tan(-)=2,则sin2c
2、os2的值为.7.(2019南京、盐城二模,8)若函数f(x)=2sin(x+)(0,0)的图象经过点6,2,且相邻两条对称轴间的距离为2,则f4的值为.8.若不等式mx2-2x+1-m0对满足-2m2的所有m都成立,则实数x的取值范围是.9.(2019南通基地学校3月联考,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,1)在以原点O为圆心的圆上.已知圆O与y轴正半轴的交点为P,延长AP至点B,使得AOB=90,则BPOA=.10.(2018江苏泰州中学月考)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b.(1)若f(x)0的解集为(-1,3),求a,b的值;(2)当a=1时,若对任意xR, f(
3、x)0恒成立,求实数b的取值范围;(3)当b=a时,解关于x的不等式f(x)0(结果用a表示).答案精解精析1.答案27解析因为sin B=2sin A,所以由正弦定理,得b=2a,所以S=12absin 120=32a2=23,解得a=2,b=4,则AB=c=a2+b2-2abcosC=4+16-224cos120=27.2.答案-2或11解析由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.3.答案8解析由2k-22x+42k+2,kZ得k-38xk+8,kZ,当k=0时,一个递增区间是-38,8,则m=
4、8.4.答案9解析因为x,y为正数,且x+2y=2,x+8yxy=1y+8xx2+y=x2y+8yx+52x2y8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时等号成立,所以x+8yxy的最小值为9.5.答案52解析|2x+y-2|1,2x+y-10,2x+y-30,作出2x+y-10,2x+y-30,x0,y0表示的平面区域,如图.易得直线2x+y-3=0与x轴的交点为A32,0.设t=x-2y+1,当直线t=x-2y+1经过A点时,t取最大值,tmax=32-0+1=52.故x-2y+1的最大值为52.6.答案1解析tan(+)=1,tan(-)=2,sin2cos2=sin(+)+(-)cos(
5、+)-(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=tan(+)+tan(-)1+tan(+)tan(-)=1+21+2=1.7.答案3解析因为相邻两条对称轴间的距离为2,所以T=2=,所以=2,由函数图象经过点6,2,得2sin26+=2,从而3+=2+2k,kZ,因为0,所以=6,所以f(x)=2sin2x+6,所以f4=2sin24+6=2cos6=3.8.答案-1+72,1+32解析已知不等式可以化为(x2-1)m+1-2x0.设f(m)=(x2-1)m+1-2x,这是一个关于m的一次函数(或常数函数),要使f(m)0在-
6、2m2时恒成立,其等价条件是f(2)=2(x2-1)+1-2x0,f(-2)=-2(x2-1)+1-2x0,整理得2x2-2x-10,解得-1+72x1+32.所以实数x的取值范围是-1+72,1+32 .9.答案2解析由题意可知圆的半径为r=(3)2+1=2,则P(0,2),由AOB=90可得OAOB=0,故BPOA=(BO+OP)OA=BOOA+OPOA=(0,2)(3,1)=2.10.解析(1)因为f(x)=x2-(a+1)x+b0的解集为(-1,3),所以x2-(a+1)x+b=0的两个根为-1和3,所以(-1)2-(a+1)(-1)+b=0,32-(a+1)3+b=0,解得a=1,b=-3.(2)当a=1时, f(x)=x2-2x+b,因为对任意xR, f(x)0恒成立,所以=(-2)2-4b0,解得b1,所以实数b的取值范围是1,+).(3)当b=a时, f(x)0,即x2-(a+1)x+a0,即(x-1)(x-a)0.当a1时,ax1时,1xa.综上,当a1时,不等式f(x)0的解集为x|ax1;当a=1时,不等式f(x)1时,不等式f(x)0的解集为x|1xa.
