1、加练课 5 点、直线与椭圆的位置关系学习目标1.掌握点、直线与椭圆的位置关系.2.掌握求弦长的方法.3.掌握中点弦问题.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.已知点(3，2)在椭圆2m2+22=1 上，则点(3，2)也在该椭圆上.()2.椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.()3.直线=+1 与椭圆27+2=1 相交.()4.直线=+与椭圆交于(1,1)、(2,2)两点，则弦长|=1+2|1 2|.()二、夯实基础，自我检测5.若直线=+2 与椭圆2+23=1 有两个公共点，则 的取值范围是()A.(1,+)B.(1,3)(3,+)C.(3,+)D.(0,3)(3,+)答案：6.设直线=
2、(0)与椭圆24+23=1 相交于，两点，分别过，两点向 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 等于()A.32 B.23C.12 D.2答案：7.已知椭圆22+22=1(0)的右顶点为(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆的标准方程为.答案：24+2=1解析：因为椭圆22+22=1(0)的右顶点为(1,0)，所以=1，焦点坐标为(0,)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以22=1，所以=2，所以椭圆的标准方程为24+2=1.8.已知椭圆 的两个焦点分别为1(1,0)，2(1,0)，且椭圆 经过点(3,32).（1）求椭圆 的方程;（2）过1 的直线 与椭圆 交于，两点（
3、点 位于 轴上方），若1=21，求直线 的斜率 的值.答案：（1）由2=1 +2=4,2=2+2,=1,解得=2,=1,=3,所以椭圆 的方程为24+23=1.（2）由题意得直线 l 的方程为=(+1)(0)，联立得=(+1),24+23=1,整理得(32+4)2 6 9=0，其中=1442+1440.设(1,1)，(2,2)，则1+2=63+42，12=923+42，又1=21，所以1=22，所以12=2(1+2)2，则3+42=8，解得=52，又0，所以=52.互动探究关键能力探究点一 点与椭圆的位置关系精讲精练例（1）（2021 吉林长春高二月考）点(4 cos,23 sin)()与椭圆
4、：24+23=142+32=1 的位置关系是()A.点 在椭圆 上B.点 与椭圆 的位置关系不能确定，与 的取值有关C.点 在椭圆 内D.点 在椭圆 外（2）若点(,1)在椭圆24+22=1 的内部，则 的取值范围是.答案：（1）（2）22解析：（1）把点(4 cos,23sin)()代入椭圆方程的左边，得(4 cos)24+(23sin)23=4(cos2+sin2)=41，因此点 在椭圆 外.（2）由题意知24+12 1，解得22.解题感悟判断点与椭圆的位置关系，可将点的坐标代入椭圆方程进行判断;根据点与椭圆的位置关系求参数的取值范围，可依据位置关系建立不等式求解.迁移应用（2021 宁夏
5、银川二中高二月考）若点(1,)在椭圆:24+22=1 的内部，则实数 的取值范围是()A.(6,6)B.(62,62)C.(,62)(62,+)D.(32,32)答案：解析：由已知得124+m22 1，解得 (62,62).探究点二 直线与椭圆的位置关系精讲精练类型 1 直线与椭圆位置关系的判断例 1 已知椭圆：42+2=1 及直线:=+，.（1）当 为何值时，直线 与椭圆 有公共点？（2）若直线 与椭圆 交于、两点，且 ，为坐标原点，求直线 的方程.答案：（1）联立直线 的方程与椭圆 的方程得 =+,42+2=1,消去 得52+2+m2 1=0，若直线 与椭圆 有公共点，则=4 m2 20(
6、m2 1)=20 16 m2 0，解得 52 52，因此实数 的取值范围是 52,52 .（2）设点(1,1)、(2,2)，由根与系数的关系可得1+2=25,12=m215，=12+12=12+(1+)(2+)=212+(1+2)+m2=2(m21)52 m25+m2=5 m225=0，解得=105，因此直线 的方程为=105.解题感悟判断直线与椭圆的位置关系时，可通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：0 直线与椭圆相交；=0 直线与椭圆相切，则：0 直线与椭圆相离，注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.类型 2 求弦长例 2（2
7、021 黑龙江高二学业水平考试）已知椭圆：22+22=1(0)的长轴长为 6，离心率为23.（1）求椭圆 的方程;（2）直线=+与椭圆 交于，两点，求|的最大值.答案：（1）由题意可得2=6,=23,解得=3，=2，2=2 2=5 椭圆 的方程为29+25=1.（2）设(1,1)，(2,2)由 =+,29+25=1 142+18+92 45=0由=(18)2 4 14 (9 m2 45)0，得m2 140，1+2=97，12=9 m24514|=1+12(1+2)2 412=32705 m276357，当且仅当=0 时，等号成立，|max=6357.解题感悟直线与椭圆相交时弦长的求法：直接利用
8、两点间的距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可先直接求出交点坐标，再用两点间的距离公式求弦长.利用弦长公式：设斜率为 的直线 与椭圆交于(1,1)，(2,2)两点，则|=1+21 2=1+2(1+2)2 412 或|=1+12|1 2|=1+12(1+2)2 412(0).迁移应用（2021 天津二十五中高二期中）已知椭圆的焦点在 轴上，一个顶点坐标为(0，1)，离心率e=255，过椭圆的右焦点 的直线 交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程;（2）当直线 的斜率为12 时，求|的值.答案：（1）依题意设椭圆的标准方程为22+22=1(0)，则=1,=255，所以2=2+2=1+(255)2，
9、解得2=5，所以椭圆的标准方程为25+2=1.（2）由（1）知(2,0)，则直线:=12(2)，联立得=12(2),25+2=1,消去 后整理得92 20=0，设(1,1)，(2,2)，则1+2=209，12=0所以|=1+(12)2 (1+2)2 412=1+14 (209)2=52 209=1059.探究点三 中点弦问题精讲精练例已知椭圆:22+22=1(0)的右焦点为(1,0)，且离心率e=22.（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 与椭圆 交于不同的两点，且线段 的中点为(,12)，直线 是线段 的垂直平分线，若 与 轴交于点(,0)，求 的取值范围.答案：（1）因为椭圆的右焦点为(1
10、，0)，所以=1，又椭圆的离心率e=22，所以=2，所以2=2 2=2 1=1，所以椭圆 的标准方程为22+2=1.（2）由题意，将=12 代入椭圆方程得22+14=1，解得=62，所以 62 62.当直线 的斜率存在且不为 0 时，设斜率为，(1,1)，(2,2)，则122+12=1,222+22=1,两式相减得，12222=(12 22)，即12=1212 1+21+2，因为1212=，1+21+2=2122=12所以12=1212 1+21+2=2，所以=(0)，则直线 的斜率为1=1，所以直线 的方程为 12=1()，将=0 代入，可得0 12=1()，解得=2，则(2,0)，因为 6
11、2 62 且 0，所以 64 64 且 0；当直线 的斜率为 0 时，直线 的方程为=12，直线 的方程为=0，与 轴的交点为(0，0)，即=0；当直线 的斜率不存在时，设(1,1)，(2,2)可得1+2=0，不符合题意，舍去.综上所述，的取值范围为(64,64).迁移应用1.（2021 安徽淮南一中高二期中）已知椭圆:22+22=1(0)的焦距为 4，短半轴长为 2.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 相交于，两点，点(2,1)是线段 的中点，求直线 的方程.答案：（1）由题意可知2=4，=2，所以2=4，2=4，2=2+2=8.所以椭圆 的方程为28+24=1.（2）设(1,1)，
12、(2,2)由题意得128+124=1,228+224=1,两式相减得12228+12224=0，即(1+2)(12)8+(1+2)(12)4=0，所以直线 的斜率=1212=1+22(1+2).因为点(2,1)是线段 的中点，所以1+2=4，1+2=2，所以=1，所以直线 的方程为 1=+2，即 +3=0.2.（2021 广东珠海斗门一中高二质检）椭圆22+22=1(0)的离心率为12，(3,32)是椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）1，2 是椭圆的左、右焦点，过焦点1 的弦 的中点为(12,)，求线段2 的长.答案：（1）由题意可得=12,32+342=1,2=2+2,解得2=4，2=3，2=1，故椭圆的方程为24+23=1.（2）由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 的方程为=(+1)，(1,1)，(2,2)联立椭圆与直线 的方程得=(+1),24+23=1,消去 得(3+42)2+82+42 12=0，故=(82)2 4(3+42)(42 12)0，1+2=823+42=1，解得2=34，将=12 代入=(+1)得=2，故(12,2)，又2(1,0)，|2|=(12 1)2+(2)2=94+24=94+316=394.
