1、第五讲幂函数与二次函数A组基础巩固一、单选题1幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(D)A偶函数，且在区间(0，)内是增函数B偶函数，且在区间(0，)内是减函数C奇函数，且在区间(0，)内是减函数D非奇非偶函数，且在区间(0，)内是增函数解析设幂函数f(x)xa，则f(3)3a，解得a，则f(x)x，是非奇非偶函数，且在区间(0，)内是增函数2(2020湖北鄂东南省级示范高中教育改革联盟期中)若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为(D)A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m1解析取x，由图易知m1n1，1n0m1.故选D.3(2021北京
2、昌平区月考)已知幂函数f(x)(m2m1)xm在(0，)上单调递减，则实数m(A)A1B2C1或2D解析由于函数f(x)是幂函数，所以m2m11，解得m2或m1.当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递增，舍去；当m1时，f(x)x1在(0，)上单调递减故选A.4(2021福建长庆中学月考)函数yx2x1，x1,1的最大值与最小值之和为(B)A1.75B3.75C4D5解析函数yx2x1图象的对称轴为直线x，则yx2x1在上单调递减，在上单调递增，ymax(1)2(1)13，ymin21，ymaxymin33.75，故选B.5(2021清华附中统练)函数f(x)ax2(a1)x3在区间1，)上
3、单调递增，则实数a的取值范围是(D)A.B(，0C.D解析若a0，则f(x)x3，f(x)在区间1，)上单调递增，符合题意，若a0，因为f(x)在区间1，)上单调递增，故解得0a.综上，0a.故选D.6(2021浙江台州一中月考)设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)(C)A7B5C4D2解析由f(x)x2axb可得函数f(x)图象的对称轴为直线x.又由ab，f(a)f(b)得f(x)图象的对称轴为直线x，所以，得2ab0，所以f(2)42ab4，故选C.7(2021福州模拟)若二次函数yx2ax1对于一切x恒有y0成立，则a的最小值是(C)A0B
4、2CD3解析设g(x)x2ax1，x，则g(x)0在x上恒成立，即a在x上恒成立又h(x)在x上为单调递增函数，当x时，h(x)maxh，所以a即可，解得a.二、多选题8(2021江西上饶潘阳一中第一次月考改编)已知幂函数f(x)(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则m(AB)A1B2C0D3解析由幂函数定义知m23m31，得m1或m2，经检验m1和m2均满足图象不过原点故选A、B.9如图给出四个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(BCD)AyxByx2CyxDyx1解析根据常见幂函数的图象判断或取特殊值，逐个验证知B、C、D正确10由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已
5、知二次函数yax2bxc的图象过点(1,0)，求证：这个二次函数的图象关于直线x2对称根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(ABD)A在x轴上截得的线段的长度是2B与y轴交于点(0,3)C顶点是(2，2)D过点(3,0)解析由已知得解得b4a，c3a，所以二次函数为ya(x24x3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(2，2)，故选A、B、D.三、填空题11幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则实数m的值为 1 .解析函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m3.mZ，m0,1,2.而当m0或2时，f(x)x3为奇函数，当m1时，f(x)x4为偶函数m1.12设二次函
6、数f(x)ax2bx2(a0)，如果f(x1)f(x2)(x1x2)，则f(x1x2) 2 .解析由对称性知f(x1x2)fab22.13已知幂函数f(x)x，若f(a1)0)，f(x)是定义在区间(0，)内的减函数又f(a1)f(102a)，解得3a5.14已知二次函数f(x)的二次项系数为a，不等式f(x)0)由题意得方程f(x)2x的两个根分别是1,3，即ax2(b2)xc0的两个根分别是1,3，故由一元二次方程根与系数的关系可得4，3，b4a2，c3a，所以f(x)ax22(2a1)x3a.再根据方程f(x)6a0，即ax22(2a1)x9a0有两个相等的实根，得4(2a1)236a2
7、0，解得a1或a(舍去)，f(x)x26x3.B组能力提升1(2021吉林模拟)已知幂函数f(x)xn，n2，1,1,3的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(B)Af(2)f(1)Bf(2)f(1)解析由幂函数f(x)xn的图象关于y轴对称，可知f(x)xn为偶函数，所以n2，即f(x)x2，则f(2)f(2)，f(1)f(1)1，所以f(2)4acB2ab1Cabc0D5a0，即b24ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即1,2ab0.B错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，C错误；由对称轴为直线x1知，b2a，又函数的图象开口向下，a0，5a2a，即5a0)，g(x)
8、logax的图象可能是(D)解析由于本题中函数为yxa(x0)与ylogax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；对于选项B，由yxa(x0)的图象知a1，而由ylogax的图象知0a0)的图象知0a1，故C错误；对于选项D，由yxa(x0)的图象知0a1，而由ylogax的图象知0am2恒成立，则实数m的取值范围(A)A(3，)BC(，3)D解析由题意，f(x)m2可得mx2mx1m2，即m(x2x1)3，当x1,3时，x2x11,7，所以m在x1,3上恒成立，只需mmax，当x1时x2x1有最小值为1，则有最大值为3，则m3，实数m的取值范围是(3，)，故选A.5函数f(x)x22x，若f(x)a在区间1,3上满足：恒有解，则实数a的取值范围为 a15 ；恒成立，则实数a的取值范围为 aa在区间1,3上恒有解，等价于af(x)max，又f(x)x22x且x1,3，当x3时，f(x)max15，故a的取值范围为aa在区间1,3上恒成立，等价于af(x)min，又f(x)x22x且x1,3，当x1时，f(x)min3，故a的取值范围为a3.