1、函 数 与 不 等 式专 题 六 2222222222()002()2()222122(112)abababababababababababababababababab平方均值不等式的两种式：对于任意实数，均有当且仅当时，等号成立；一次式：如果 ，则，或写作：当且仅当时，等号成立，对不等式基本形式基本不等式的常，还有更一般的表达式：当且仅当时，等见变号成立式；2()102(21)1|2(1)33abababbaxxxxxxx 若，同号，则当且仅当时，等号成立；若 ，则当且仅当时，取等号；更一般的结论当且仅当时，等号成立 利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，
2、又可适用于分式函数，高次函数，无理函数，多元函数等，但必须基本不等注意其使用式求最的三值的条件个条件：12003abababababab各项为正，即 ，；和定或积定，即和为定值或积为定值；项项相等：“”，三个条件缺一不可少了“各项为正”，就失去了利用均值定理的前提条件；少了“为定值或为定值”，求出的不是一个常数，而是一个变量；少了“项项相等”，求出的最值就失去了基础，成了“空中楼阁”“”=40123abab比较法：证明过程一般分 作差、变形、判号、定论，其理论依据是：；分析法：从欲证的不等式出发，寻找使之成立的充分条件；综合法：从某一个或几个不等式出发经过变形、不等式的证运算推导出欲明的三种证
3、的不本方法：等式基2211(2)(2)()A 6 B 7 C 16 D 9xyxyyx若，为正数，则的最小值是 例1:考点1 均值不等式的应用:条件中所给两个和中涉及的两项的积不是常数，可以考虑将两项展开，然后进行重新组合两项和的形式，使它们的对应的积分析为常数222222222222220011(2)(2)1144(4)(4)()11442 42 421144244C.216:xyxyyxyxxyxyxyyxxyxyxyyxxyxyxyxy因为 ，所以当且仅当，即时取等号，即所求的最小值为，故选解析本题解法中在同一式中使用了三次均值不等式，这时一定要注意几次使用条件必须一致，即每次取得“”号
4、的条件一致，否则所求的最值是【评析】错误的(0)2tantan()22_xxx若，变式则的小值为题：最(0)tan0tan()cot0222tantan()22tancot2 22 222tancottan22.xxxxxxxxtanx cotxxxx因为，则，则，当且仅当，即时最解析：取，即小值为等号11111(2011).xyxyxyxyxy设，例2:安徽明卷证 考点2 不等式的证明:根据所证不等式的结构，可采用多分析种方法证明 222222111111101011101101:111011(1)11xyxyxyxyxyxy xyyxx yyxx yxy xyx yxy xyxyxyxyx
5、yxyxyxyxyxyxyxyxyxy 因为，所以欲证：，只需证：，即证：，只需证：，只需证：，即证：，方法：分只需证：，因为，法以析明所证，0从而所要证明的不等是成立的，式成立 2222221111101101110111.10121()0 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxxyxyxyxy xyxyyxx yxy xyxy xyxyxyxyy 即方因为，所以，所以，即，所以，所以，以，合法所法：综 222211111110111011011111101111103().xyxyxyxyxyxy xyyxx yxxyyxy xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxx
6、yxyy 假设，则由，知，所以，所以，所以，即，这与当，时，矛盾，所以假设不成立方法：反证法，故 2222111()()111111111111(1)14xyxyxyxyyxx yxy xyxyx yxy xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy 方法：比较法11111011.11xyxyxyxyxxyyyxxy因为，所以，故不等式证明的方法有许多，要善于区分各种不同的证明方法，分清什么样的问题适合用哪一种方法是证明不等式【评析】的关键2222.abcdabcdacbd设，均为正数，证明：变式题：2222222222222222222222222222220()21)2(abc
7、dabcdabcdacbdabcdacbda babcdc dacbda babcdc da ba db cc d因为，均为正数，则，则欲证，只需证，只需证，即证证明：方法：分析法，2222222222222222000abcda db ca db cabcdadbabcdacbdcadbc即证，只需证，即，因为成立，所以成立22222222222222222222222222202022(2)().0adbca db cabcdabcda db ca babcdc dacbdabcdacbdabcdaabcdbdbccad因为，所以，所以，所以，所以，又因为，均为正数，则，方法：综合法所以1
8、11()A(2 B 2)C 3)D(3xxaxa 当 时，不等式恒成立，备选例题:则实数 的取值范围是 ，1111:axxxx将不等式恒成立转化为的最小值，因此转化为求的最小值，而此最小值可添减项转化为均值不等式类似的结构进分析行解答11111101111121131111121133:D.1xaaxxxxxxxxxxxxxxxax 等式恒成立等价于的最小值，由于 ，所以，则，当且仅当，即时，的最小值为，所以，故选解析本题可归纳出一类利用均值定理求最值常见模型：一个整式与该整式的倒数的和.此种结构在各类题型中出现的频率较大，因此注意对这种结构题型【评析】的训练。121利用基本不等式解决最值问题
9、时，须注意“一正、二定、三相等”三点中最为重要的是均值不等式所涉及的两项的积或和必须为定值，而往往所给的表达式都不具有定值的特征，一般都需要进行变形，凑出定值，常常可利用以下几种途径：通过加减常数凑出两项的积为定值；通过乘除系数凑两项的和为定值；3425通过分式裂项凑出两项的积为定值；通过重组各项凑出两项的积为定值；通过对函数平方凑出两项的和为定值求解最值问题时，有时需要同时或连续多次使用均值不等式，这时一定要注意几次使用条件必须一致，即每次取得“”号的条件一致，否则所求的最值是错误的 123()()345证明不等式的方法很多，除比较法、分析法、综合法三种基本方法外，放缩法、反证法、换元法、构
10、造法、判别式法、单调性法等都是常用的方法特别是要重视放缩法的应用，掌握放缩法的主要途径：分式放缩分子与分母；根式放缩为平方式；无限项放缩为有限项；平方数 式 放缩为两个不同数 式 积；利用函数的单调性放缩,2222222 1.(2011).aba babca b cabcc 若实数，满足，则 的最大值重庆卷是 222222 224.22222222211421121214 134l2loog 3g:3.a baba ba babca b ca bca bca bca ba babc ，当且仅当时“”号成立，所以由，得，所以，故解80012.(2011A 60B 80C 1000)D 12x某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件 件 件 北京卷件 800180080082800800 20800800:80f xxxxxf xxf xxxxxx 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，当且仅当，件时，取解即最小值
