1、第三节直线与圆、圆与圆的位置关系(一)复习目标学法指导1.直线与圆相切.2.直线与圆相交.3.利用相切、相交的条件求参数的范围.4.利用相切、相交求切线长或弦长.1.处理直线与圆相切、相交问题通常有两种方法:(1)代数法由直线与圆的方程组成的方程组消去一个未知数后,所得到的一元二次方程的判别式为,当=0时,直线与圆相切.当0时,直线与圆相交.(2)几何法设圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0(A2+B20)的距离为d,则有d=r时,直线与圆相切,dr时,直线与圆相交.2.熟练运用“数形结合”,能有效解决本节问题. 直线与圆的位置关系1.把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,其
2、判别式为,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关系列表如表:相离相切相交图形量化代数观点0几何观点drd=rdr2.直线被圆截得弦长的求法(1)几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d、弦长一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解,即r2=d2+.(2)代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式.|AB|=|xA-xB|=.说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.1.概念理解判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法,若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较繁琐,则用代数法,能用几何法,尽量不用代数法.2.相关结论(1)圆中弦长的求法用弦长公式|AB|=|x
3、1-x2|=|y1-y2|;用垂径定理和勾股定理,在半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形中有=.(2)圆的切线的求法点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,设出切线(分k存在与否),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程;点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,切线方程为xx0+yy0=r2.(3)圆的直径式方程:以线段AB(A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.1.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(B)(A)2x-y+1=0(B)2x+y+1=0(C)2x-
4、y-1=0(D)2x+y-1=0解析:x2+y2-2x+6y+8=0可化为(x-1)2+(y+3)2=2,圆心(1,-3),将(1,-3)代入2x+y+1=0,方程成立.故选B.2.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是(C)(A)x+y+1=0(B)x+y-1=0(C)x-y+1=0(D)x-y-1=0解析:x2+2x+y2=0配方得(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),故所求方程为y=x+1.故选C. 考点一直线与圆的位置关系【例1】 (1)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于()(A)3
5、(B)(C)2(D)1(2)若直线ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()(A)在圆C外(B)在圆C内(C)在圆C上(D)以上都可能(3)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射,到达圆C:(x-3)2+(y-2)2=1上一点的最短路程是.(4)圆 x2+y2=4上的点到直线4x+3y-12=0的最小距离是.解析:(1)由题意可得,圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=1,则由圆的性质可得,()2=r2-d2=3,即AB=2,故选C.(2)由于直线ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交,可知圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d=1,根据点与圆的位
6、置关系可知点P在圆外,故选A.(3)根据反射角等于入射角原理,可以得到所求最短路程是点A关于x轴的对称点到圆心的距离减去半径,点A关于x轴的对称点为(-1,-1),它到圆心的距离为=5,所以所求最短路程为5-1=4.(4)易知该直线与圆相离,圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的最小距离是-2=.答案:(1)C(2)A(3)4(4)【例2】 设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C与线段AB和直线l都有公共点,则实数a的取值范围是.解析:首先圆C:(x-a)2+y2=1与线段x+y=1(0x1)有公共点,往右最多移至过(1,0),此时a=2,往左
7、最多移至与x+y=1(0x1)相切,此时由=1得a=1-,所以a首先要满足1-a2.其次,圆C:(x-a)2+y2=1与直线l:y=ax有公共点,所以1,得-a.综上,实数a的取值范围是1-,.答案:1-, 判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表示,则用几何法,利用d与r的关系;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表示较繁琐,则用代数法,联立方程后利用判断.当正实数m变化时,斜率不为0的定直线始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,则直线的方程为.解析:l:y=kx+b,则=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1)m+b2=0,因为该等式对任意m0成立,故3
8、k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,则直线的方程为y=-x.答案:y=-x考点二直线与圆相交的弦长问题【例3】 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解:(1)法一圆C的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4.如图所示,|AB|=4,|AC|=4,设D是线段AB的中点,则CDAB,|AD|=2,在RtACD中,可得|CD|=2.当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即k
9、x-y+5=0,由点到直线的距离公式得=2,得k=,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.所以所求直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0.法二当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即y=kx+5.由消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0.(*)设方程(*)的两根为x1,x2,则由弦长公式得=4,解得k=,此时直线方程为3x-4y+20=0.又斜率不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.所以所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为E(x,y),则CEPE,所以
10、=0,即(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0. 当直线与圆相交时,讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型,此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用:(1)垂直于弦的直径平分这条弦;(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦;(3)d2+()2=r2.要综合考虑这些几何知识,这样既简单又不容易出错.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=.解析:设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R=2,|AB|=2,所以|OM|=3,由|OM|=3,解得
11、m=-,所以直线l:x-y+6=0.由解得A(-3,),B(0,2),则AC的直线方程为y-=-(x+3),BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.答案:4考点三直线与圆相切问题【例4】求圆x2+y2=10的切线方程,使得它经过点M(2,).解:因为点M的坐标适合圆的方程,所以点M在圆x2+y2=10上,由题可知圆心为O(0,0),则直线OM的斜率kOM=,因为圆的切线垂直于经过切点的半径,所以所求切线的斜率为k=-.故经过点M的切线方程为y-=-(x-2).整理得2x+y-10=0. 如果所求切线过某已知点,务必弄清该点在圆上还是圆外.(1
12、)若点在圆上,那么圆心和该点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率.(2)若点在圆外,过该点的切线有2条,但在设斜率解题时可能只求出一条,这是因为有一条切线斜率不存在.由直线y=x+2上的点向圆(x-4)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为.解析:根据直线y=x+2上的点到圆的切线长、到圆心的距离、圆的半径三个量的关系知,当直线上的点到圆心的距离最短时,切线长最短.易知圆心到直线的距离为4,又半径为1,所以最短的切线长为=.答案:考点四圆中的对称问题【例5】 (1)若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为;(2)已知直线l:x+ay
13、-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于.解析:(1)圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k(-1)+23-4=0,解得k=2.(2)由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,所以圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,所以2+a-1=0,所以a=-1,所以A(-4,-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2,所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.答案:(1)2(2)6 对称圆的半径不
14、变,圆的对称问题实际上是点的对称问题,求解过程中最重要的就是确定圆心.1.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是(D)(A)x-2y+1=0(B)2x-y-1=0(C)x-y+3=0(D)x-y-3=0解析:两圆的圆心分别为(0,0),(3,-3),圆心连线的中点(,-),过两圆圆心的直线的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y+=1(x-),即x-y-3=0,故选D.2.已知点P(1,4)在圆C:x2+y2+2ax-4y+b=0上,点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上,则a=,b=.解析:P(1,4)在圆C上,所以2
15、a+b+1=0,又点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上,所以圆心(-a,2)在x+y-3=0上,得a=-1,所以b=1.答案:-11考点五圆与圆的位置关系【例6】已知圆C1:x2+y2-6x-6=0,圆C2:x2+y2-4y-6=0(1)求两圆公共弦所在直线方程;(2)求公共弦的长度.解:(1)由题知两圆相交存在公共弦,两圆方程相减得6x-4y=0,即公共弦所在直线方程为3x-2y=0.(2)圆心C1到公共弦的距离为d=,所以公共弦长为2=. (1)两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的一次方程.(2)求两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d、半弦长、半径r所在线段构成直
16、角三角形,利用勾股定理求解.1.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为(C)(A)(B)(C)(D)2解析:由圆C1与圆C2外切,可得=2+1=3,即(a+b)2=9,根据基本不等式可知ab()2=,当且仅当a=b时等号成立,ab的最大值为.故选C.2.集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其中r0,若AB中有且仅有一个元素,则r的值是.解析:因为AB中有且仅有一个元素,所以两圆x2+y2=4与(x-3)2+(y-4)2=r2相切,令其圆心分别为O,C.则O(0,0),C(3,4)
17、,|OC|=5,r1=2,r2=r,故2+r=5,或r-2=5,所以r=3或7.答案:3或7考点六易错辨析【例7】对于任意实数m,直线l:y=m(x-1)+b恒与圆O:x2+y2=a2(a0)有两个交点,则a,b满足的条件是.解析:由题意知,直线l经过定点M(1,b).又直线l恒与圆O:x2+y2=a2(a0)有两个交点,所以点M在圆O的内部,所以12+b21.答案:a2-b21 对直线方程理解不够,不能从方程中发现直线恒过定点;不能很好地使用点M在圆的内部这个条件,而仍然利用圆心到直线的距离小于半径,或结合方程组,利用判别式大于0求解,将会使运算复杂,甚至解不出.1.已知集合A=(x,y)|
18、x,y为实数,且x2+y2=1,B=(x,y)|x,y为实数,且x+y=1,则AB的元素个数为(C)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:法一(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=1=r,所以直线与圆相交,故选C.法二(数形结合法)画图可知选项C正确.2.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.解析:由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3,由ACBC,可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为,由点到直线的距离公式可得=,解得a=0或a=6.答案:0或6
